2．1微分 yqdh LX|Mk
-"u9s[L{
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： \}O'?)(1
?S9!;x<
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 /ESmQc:DWB
~~h@(2/Q>x
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 B>dXyo
O2[uN@nY
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 Rk #@{_
`mU'{
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 ^j1?L B
XWQp-H.
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 ]YF[W`2h
B dHLow
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： MjIp~?*
bAIo5lr
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; VH&6Tm1
Vj^<V|=
>>S2 = 'sin(a)'; ,U_p6 TV5
pgK)
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; qq0 bIfF\4
)*[3Imq/
>>diff(S1) @pueM+(L&
pgg4<j_mn
ans=18*x^2-8*x+b nK*$P +[R
j(Tt-a("z
>>diff(S1,2) ZU %7m_ zO
^+CTv
ans= 36*x-8 PxENLQ3a=
a =LjFpv/]
>>diff(S1,'b') &M$s@FUY
Q<$I,C]
ans= x ADoxma@
qV57P6<
>>diff(S2) 9OYsI
T7eo_Mn
ans= ]HoQ6R\E b
KD]8n]c
cos(a) Yc+0 OBH[
Z/=x(I0
>>diff(S3) nKn,i$sO/.
!Kv.v7'N/k
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 Rg! [ic !
Z{/0 P
>>simplify(diff(S3)) *Q bPz4,"
Z2d,J>-
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 a}l^+
OA#AiQUR
2．2积分 3R pD Il`0
p;av6 3 i
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 A!}Wpw%(/
3DRXao
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： mO$]f4}
)ymd #?wq
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 ^7Q} W#jy
i>gbT+*E!
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 +.UdEIR";M
=8`,,= P^
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 =VkbymIZ4y
ol^J-
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 nU$;W
/YYI
4
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 M/
@1;a@\
.{as"h-.O
我们示范几个例子： o @[yF<
m_~!Lj[u.
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Y4,~s64e
mx s=<
>>S2 = 'sin(a)'; T1ZAw'6(K
&CW,qY,sh
>>S3 = 'sqrt(x)'; `"J=\3->
d[ql7
>>int(S1) w|?<;+
&d]%b`EXq
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x B5"( NJ;
l0Wp%T
>>int(S2) &i*/}OZz
w4Nm4To
ans= -cos(a) !gv/ jdF
D 2x-Wa
>>int(S3) U CzIOxp}
} =Yvs)
ans= 2/3*x^(3/2) r(./ 00a
(i4=}Kn2
>>int(S3,'a','b') x_lCagRGC4
/I|.^ Id|
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) {Lu-!}\NP
[r%WVf.#d
>>int(S3,0.5,0.6) :lQl;Q -e
D. !m*o q
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) kxU <?0
+u;f]p
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 *Iv.W7 [
=E@wi?
ans= 0.0741 VR /7CI4=
lquY_lrri
2．3求解常微分方程式 i{zg{$ U
*x3"; %o
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， G+?@ 4?` z
L<bZVocOb_
condition则为初始条件。 7:x%^J+
6#P\DT
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 EMME?OW$
y&T(^EA;
y'=3x2, y(2)=0.5 W,~s0a !
rug^_d =B
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 Srw ciF
^mr#t #[e
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 w8E6)wF=7
6v7H?4
对应上述常微分方程式的符号运算式为： 5&]|p'"W\
J9J[.6k8
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') | _/D-m*
{B$cd?}
ans= x^3-7.500000000000000 # ;GIvfW
7n W*3(
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 Z }_{@|
T;D`=p#
[9S\3&yoh
C
9IKX
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') 1{\{'EP{
b5u_x_us|
ans= atan(x^2+1) x 9}D2Ui
%Hdg,NH
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') MI o5Y`T
@ @$=MS N
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) g`~c|bx
|eT? XT<=o
yU"lW{H@
p-n_
">7
2．4非线性方程式的实根 `c@KlL*!Q
]Hk8XT@Q+
要求任一方程式的根有三步骤： Qd"{2>
"5Oi[w&F5
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， !Irmc*;QE
g0t$1cUR
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 5Gm,lNQ Av
pjr,X+6o
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 UEm NT9 V
J0xOB;rd
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 cQDn_Sjhi
t6p}LNm(V
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 U1(<1eTyu
<-uE pF
例一、方程式为 ?CGbnXZ4Ug
T-|SBNFw;
sin(x)=0 !FOPF Pn
^yDCX
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： Sd?:+\bS;
h-`Jd>u "
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 R?3^Kx
sxM0 c
r=3.1416 v
P8.{$
#mY*H^jI]~
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 '9cShe
w^N xR ,
r = 6.2832 ]$/ TsN
7M#2Tze}
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： [G:wPp.y
K~**. NF-n
>> x=linspace(-2,3); HrQBzS
]0P-?O:
>> y=humps(x); w^tNYN,i
,aS6|~ac4
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 m@o/ W
FNlzpCT~L
v,w /g|
[ 9 )9>-
SPKGbp&
w J
FEua
NN1d?cOn
nokk! v /
*qKPZb~
tcOgF:
%RA8M-
d
bTB/M= M
nWpqAb
vum6O 3
O~yPe.
>> r=fzero('humps',1.2) ~M`-sSjZs
]~~PD?jh
r = 1.2995 *FyBkG'
u
'-4hU
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 =*0<.Lo':
E/x``,k
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： `Q?rQ3A}
-U;2
b_
% m-function, f_1.m WP-?C<Iw
|&Gm.[IX;q
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 Zh. 5\&bm
NT?Gl(
y=x.^3-2*x-5; *BzqAi0
>?K@zsv}
>> x=linspace(-2,3); d5&avL\
`
MIZqHM @
>> y=f_1(x); 9%aBW7@SK
B- `d7c5
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 & Ji!*~sE
d` 9% :2qE
@ , 0W(
_r+2o-ZR
\C;cs&\Q
K#q1/2
y]$%>N0vLX
2lNZwV7
t.|b285e
dH"wYMNL
0~{jgN~
p^PAbCP'|3
b4%sOn,
)P
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 M3-
bFIt
X5i?B b.
r = 2.0946 5.!iVyN
kj_ o I5<'
>> p=[1 0 -2 -5] "&(.Z (
n$B SO
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 |r2 U4 ^
k?-GI[@X
r = TtA6N8G
:%ms6j/B&V
2.0946 ?;NC (Z,
!p$z8~
-1.0473 + 1.1359i @jb
-u S
R7%'
v Zk
-1.0473 - 1.1359i `)e5p K
,e\' Y!'
2．5线性代数方程（组）求解 ( <~
Q; A1&UA2
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 h!l&S2)D`
1&%6sZN
AX=B 1#rcxUSi
M*ZR+pq,
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 F *" "n
t){})nZ/4
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 $80 TRB#
QN`K|,}H^
如果将原方程式改写成 XA=B 2JY]$$K7
9z >I&vc X
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 hgt@Mb
_XLGXJ[B
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 fyYH wG
>fG=(1"
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 mO];+=3v8
J_PA WW
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： Wtl/xA_
5P=3.Mk
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 Cq mtO?vne
5]_m\ zn=
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 M*XAyo4 fI
y.h2hv]Bc
>> X=A\B % 先以左除运算求解 }4'5R
S#km`N`
X = % 注意X为行向量 p5RnFe l
-*`7Q'}%
-2 / = ]h@m-`
kD_Ac{{<
5 ']Q4SB"q
s2SxMFDP
6 <%d/"XNg[D
OH.lAF4E(
>> C=A*X % 验算解是否正确 IXjFK
`^3 N|76Y
C = % C=B r 7 dwj
QT\||0V~p
10 c lhmpu
EI+RF{IKh
5 uJxT)m!/
2b u,_<K.
-1 `<Ry_}V
6}z-X*
>> A=A'; % 将A先做转置 . |XG0 M
@ 4)NxdOE
>> B=[10 5 -1]; (^_j,4
=@e3I)D#?i
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 !{u`}:\
Nuc;Y
X = % 注意X为列向量 e 3o?=;
q4y P\ B
10 5 -1 <'y}y} %
g &E3Wc
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
