2.1微分 {HQ?
/(XtNtO*
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: ]3C7guWz
UB=I>
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 NbfV6$jo
3;#v$F8R
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 Cg-khRgLS
/Wk\6
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 q(_pk&/
Z9TG/C,eo
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 {3!v<CY'
*qGxQ?/
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 4Yx?75/
41,Mt
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: r1xNU0A
Ean@GDLz8
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; C:z K{+
"M1[@xog
>>S2 = 'sin(a)'; !SEg4z
Oe*emUX7
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; kW5g]Q
>STWt>s
>>diff(S1) G'Jsk4:c
{_l@ws
ans=18*x^2-8*x+b X>=`{JS1
#(T
>>diff(S1,2) 1Y\g{A"
/J8y[aa
ans= 36*x-8 z4{H=
WFULQQ*
>>diff(S1,'b') Mb uD8B
Z6A*9m
ans= x G2zfdgW${/
tLJ"] D1w
>>diff(S2) `(.K|l}
q:+,'&<D
ans= 'eZUNX
vc5g4ud
cos(a) m "h{HgJd
p,Qr9p3y
>>diff(S3) 8|OsVIe%
^ [uA^
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 yk,o*g
U;Y{=07a@
>>simplify(diff(S3)) I!|_C~I` 2
S{zi8Oc6
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 aI{Ehbf=
y}FTLX $
2.2积分 Ao69Qn
K}L-$B*i
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 4%0eX]
u`O
xY
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: 2I*
7?`
esIEi!d
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 /ZUKt
L#1YR}m
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 ]<V[H
K?8{y
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 ryg1o=1v/
yF8 av=<{
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 aqSHo2]DX9
g[!t@K
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 }_vE
lBh6$
0,1:l3iu1M
我们示范几个例子: UR>zL3
yZj:Kp+7
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Y!N*J
;Kob]b
>>S2 = 'sin(a)'; M_<O'Ii3
.DiH)
>>S3 = 'sqrt(x)'; e)]9u$x
r({!ejT{U
>>int(S1) mEyJ
o|
Ri =>evx
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x rXPq'k'h#-
hy3j8?66
>>int(S2) B&ItA76
aVNBF`
ans= -cos(a) 8QDs4Bv|
~za=yZo7(
>>int(S3) `z=U-v'H)D
`$vTGkGpY
ans= 2/3*x^(3/2) N}HQvlLkF9
:L*"OT7(6
>>int(S3,'a','b') KHV5V3q4
#; CC"
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) 'Alt+O_
#Mkwd5S|L
>>int(S3,0.5,0.6) Y_tLSOD#/
C8 9c2
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) {>PN}fk2QP
1RpTI7
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 rH
Et]Xa
:iqFC >D
ans= 0.0741 #RT} -H
78zjC6}`
2.3求解常微分方程式 3omFd#EP
J/X{
Y2f
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , W/q-^Zkt,9
pESlBQ7{I
condition则为初始条件。 ywWF+kR_
A(zF[\{]
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 exT
O#*o
K=T]@ix$
y'=3x2, y(2)=0.5 d*Q:[RUf,
>oSNKE
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 golr,+LSo
A[)od
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 29]-s Utqv
XHU&ix{Od
对应上述常微分方程式的符号运算式为: V;0{o
]k~Vh[[
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') HEdOo~/~
E`s9SE
ans= x^3-7.500000000000000 b Lag&c)
v|uY\Z
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 *qdf?'R
AE0d0Y~9
<q|IP_
-wv5c
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') #vh1QV!Ho
;]YQWK
ans= atan(x^2+1) NJK?5{H'
6QS[mWU
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') jusP
aAdW
vl59|W6
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) }%LwaRT
SxV(.i'
NCbl|v=
FD>j\
2.4非线性方程式的实根 w20E]4"
D~ _|`D5WK
要求任一方程式的根有三步骤: .Rl58]x~
KY'"Mg^!
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, gEC*JbA.3
3&i8C,u]/O
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 2_Me
4
8qwc]f$.w
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 {6MLbL{
nsR^TD;
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 @?ntMh6
XgY( Vv
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 yH_L<n
_J^q|
例一、方程式为 T{=.mW^ x
mw}obblR
sin(x)=0 <jdS0YT
T8Sgu6:*R
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: G"!YV#"~
xR+=F1y
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 ^$3 ~;/|
PRmZ3
r=3.1416 !1<x@%
),`MAevp
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 d5<@WI:wz
.UNh\R?r
r = 6.2832 ~N+lI\K
EN@LB2
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: ^9T6Ix{=
'Rk~bAX
>> x=linspace(-2,3); $$YLAgO4
%8iA0t+
>> y=humps(x); TnET1$@qr*
k f~71G+
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 FxOhF03\=[
?#]K54?
1xK'T_[
[;B_ENV
rC] jz$sle
Y{y #us1
o:C:obiQbu
01I5,Dm
^5vFF@to
'N,3]Soi
~h -G
K8*QS_*
&|<~J(L;
.FK'TG
qS{lay
>> r=fzero('humps',1.2) ?!(/;RU1
G 8|[.n
r = 1.2995 Lc^nNUzPo
)>at]mH
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 'T[=Uuj"
%kD WUJZ
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: KmV#%
d
9,5v %HZ
% m-function, f_1.m +AyQ4Q(-o
{npKdX
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 P,AS`=z
_J&u{
y=x.^3-2*x-5; Y">tfLIL_
18w[T=7)
>> x=linspace(-2,3); Tp~yn
(]j*)~=V
>> y=f_1(x); y<PPO6u7
sAk~`(:4!
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 s9'g'O5
fT._Os?i
O89<IXk
(d993~|h
5WP[-J)
'N=' B<^;%
Hk2@X(
x=1G|<z%
M@!Gk
H*|Bukgt/M
Cd#*Wp)s
|NtT-T)7
#Vn=(U4}!_
23+6u{
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 : ` F>B
L3q)j\ls
r = 2.0946 ^'QcP5Fv
9 )B >|#\
>> p=[1 0 -2 -5] BO[Q"g$Kon
2EE/xnwX
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 l@1f L%f
avO+1<`4B
r = *sJx0<!M}
\Qk:\aLR
2.0946 qa^x4xZM
ygpC1nN
-1.0473 + 1.1359i 9ciL<'H\
o~P8=1t
-1.0473 - 1.1359i aSHZR
`k\]I |6
2.5线性代数方程(组)求解 pI(FUoP^
JPQ02&e
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下
4EB$e?
w0/W=!_
AX=B ]CC~Eo-%-
|&n dQ(!l
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 e@]cI/j
GU&XK7L
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 8x,;B_Zu
fbuop&FN+q
如果将原方程式改写成 XA=B .v1rrH?
5tq$SF42X
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 yvDzxu
SVq7qc9K?
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 3%EwA\V(
S"3g 1yU^_
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 \
vJ*3H6
njUM>E,'
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: ;k/0N~
SmR*b2U
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 ixKQh};5/
(OG@]|-
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 b:O4d<+%
|?8CV\D!
>> X=A\B % 先以左除运算求解 -IX;r1UD
iI
^{OD
X = % 注意X为行向量 eazP'(rc
e:7aVOm
-2 Q ^ 39Wk@
}f-rWe{gs>
5 p$9N}}/c
*;gi52tM
6 m9e$ZZG$
^E:;8h4$9
>> C=A*X % 验算解是否正确 0e7v ?UT
sJM}p5V
C = % C=B .FMF0r>l
HPCA,*YR`
10 hcf>J6ZLT
T2(+HI2
5 hR`dRbBi%
El+]}D"
-1 QM _~w\
%xk]y&jv
>> A=A'; % 将A先做转置 5N|77AAxK
"R30oA#m
>> B=[10 5 -1]; }Ql;% 7
1^W Aps
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 3<`h/`ku
]g)%yuox9F
X = % 注意X为列向量 (6A{6_p
@%fkW"y:
10 5 -1 /KV@Ce\
jS- QTG!=
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解