2．1微分 ZU`"^FQ3A
.qZ< ROZ
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： wQ 5__"D
L-XTIL$$
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 <6@Db$-
G.Q+"+* ^
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 Sz
=z
TPnO
Xy._&&pt
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 *$QUE 0
0PN{
+<? .
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 <t8})
`)'YU^s
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 B4 hR3 %
`6zoZM7?Y
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： mU!c;O
>a<;) K^1
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; iY="M _kQ_
8:f ( PN
>>S2 = 'sin(a)'; u% FA.
zIu1oF4[
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; Q8_d]V=X:
V{][{5SR
>>diff(S1) gY%-0@g
QZX+E
ans=18*x^2-8*x+b b{A#P ?
mwt3EV5
>>diff(S1,2) :0 J;^@
rB4]TQ`c
ans= 36*x-8 J&Ah52
x`4">:IA
>>diff(S1,'b') RW'QU`N[Y
},l3N K
ans= x [|vd r.
QgP
UP[
>>diff(S2) 2?&h{PA+
Na4\)({
ans= 7Xa Ri@uG
um/iK}O
cos(a) zJPzI{-w|
!^y'G0
>>diff(S3) 4XRVluD%W.
z;T?2~g!
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 L~\Ir
0ZO!_3m$r
>>simplify(diff(S3)) [l0>pHl@
`U (FdT
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 7v{Dwg
qTG/7tn
"
2．2积分 Up~#]X
-LUKYGBK
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 z Mtx>VI
)<%GHDWL
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： {<V{ 0
s%
flRok?iF
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 [S4< bh!
HN \9 d
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 HZ/e^"cpM
kIyi f7
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 E sd A %`
~OXPn9qPp
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 5-*/wKjLz
+d<o2n4!
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 WOh?/F[@u
G22u+ua
我们示范几个例子： F.4xi+S_
^)TZHc2a[
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; NbH;@ R)L
k*J0K=U|
>>S2 = 'sin(a)'; T< D&%)
EW]rD
>>S3 = 'sqrt(x)'; (V&$KDOA
09/Mg
>>int(S1) n&Bgpt~
w=,bF$:fIW
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x C h>r.OfP
EjrK.|I 0
>>int(S2) :wtK'ld
Dc2H<= ];
ans= -cos(a) n H_M#
F P3{Rp
>>int(S3) XU_ gvz
OQ&l/|{O0?
ans= 2/3*x^(3/2) kZ$2Uss
I|(r1.[K
>>int(S3,'a','b') Fsz;T;
Qu|H_<8g
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) K|]/BjB/
x. 8fxogz
>>int(S3,0.5,0.6) )\Am:?RH;
g=n{G@ *N
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) F N\*x:g
{OIB/
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 {u~JR(C:
R.(PZC vS
ans= 0.0741 %vUY|3G
}p5_JXBV
2．3求解常微分方程式 r'8qZJgm
~bf 4_5
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， c^3,e/H
0fu*}v"
condition则为初始条件。 *O_>3Hgl
0Xb,ne
7
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 bI+/0X x
R#HVrzOO|T
y'=3x2, y(2)=0.5 7vTzY%v
[ n4nnmM
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 GHY+q{'#V_
fJOw E
g|
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 7>"dc+Fg
C~Hhi-Xl)
对应上述常微分方程式的符号运算式为： BMug 7 xl"
PzOnS
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') 9fm9xTL
xpX<iT>5u
ans= x^3-7.500000000000000 o%7-<\qS
pu~b\&^G
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 (\ge7sE-oo
+-C.E
[;H-HpBaa
x
]" >
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') 'i',M+0>jC
!0d Qfj^_
ans= atan(x^2+1) }ZK%@b>
Bv<aB(c
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') q
#mBNe62p
aVCPaYe^
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x)
E;}&2 a
aq)g&.dw?
3\2%i 6W6
zOd* >
2．4非线性方程式的实根 tn#cVB3
yDfH`]i)U
要求任一方程式的根有三步骤： h4jo<yp\
|.VSw
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， FQJiLb._Z
F e i5'
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 ( <YBvpt4>
/78]u^SW
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 yX4 Vv{g
! ui
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 &Ts !#OcB,
NB1KsvD{
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 ,`JYFh M
VwpC UW
例一、方程式为 <l(n)|H1P
& #L C'
sin(x)=0 R\|,GZ!`+
1aQm r=,
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： udu<Nis4
[3"F$?e5
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 -nXP<v=V
~n- Px)
r=3.1416 eT+i &
b3E GtC}^
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 mFg $;F
2HtsSS#0Q
r = 6.2832 u"q5 6}Q?]
hH 5}%/vF
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： K(i}?9WD
o!:Z?.!
>> x=linspace(-2,3); XHekz 6_
k V+^1@"
>> y=humps(x); }%p:Xv@X!
H.\`(`6
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 @Wc5r#
N]w_9p~=1
h*%FZ}}`q
3("C'(W
g35!a<JW
nm@ h5ON_
[a04(
2g
#h?I oB7
db~^Gqv6k
gYD1A\
S s+F
HwHF8#D*l
_ ;B wP
j@> D]j
Up{[baWF
>> r=fzero('humps',1.2) *{3d+j/?/
IplO XD
r = 1.2995 g 3z/yj
J-hJqR*;K
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 6@s!J8!
Ea&|kO|
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： m Y.v:
^1najUpQ_n
% m-function, f_1.m ~ub vdQEW
!BsQJ_H
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 = 0pt-FQ
%"0, o$
y=x.^3-2*x-5; u#,8bw?1
iM@$uD$_Q2
>> x=linspace(-2,3); umIGI
i)?7+< X
>> y=f_1(x); Qs elW]
.\ ;'>qy
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 3PE.7-HF
{Sf[<I
H)Btm
`gX|q3K\s
CIx(SeEF
,X.[37
V`y^m@U!
& Q3Fgj
5dePpF D5
Nap[ =[rv
w}j i]V}
|-Uh3WUE6
C|V7ZL>W
^ O h
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 `,qft[1
yp#!$+a}
r = 2.0946 X`.##S KC
g'7E6n"!,
>> p=[1 0 -2 -5] Dh8ECy5k<*
Sc7 Ftb%
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 N&HI)X2&
QQrldc(I
r = 7*l$ i/!
xDo0bR(
2.0946 i g( O$y
$Zu? Gd?
-1.0473 + 1.1359i F\m^slsu7=
GbSCk}>
-1.0473 - 1.1359i <T}^:2G|
qX ,q*hr-
2．5线性代数方程（组）求解 J$#T_4 )
,8e'<y
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 C?\(?%B
|V a :*3u
AX=B {<42PJtPY
=I# pXL
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 Tn& _ >R
j%6p:wDl
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 731Lz*IFg
'(.5!7?Qc
如果将原方程式改写成 XA=B yaR>?[h
y98FEG #S}
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 .C'\U[A{
q3x"9i
`
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。
7kLu rv
, Y:oTo=~
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 sY;h~a0n
jZA1fV
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： uj 8saNu
o(hUC$vW
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 $gl|^c\
Z>g72I%X
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 ~ P\4
N
`=(<!nXJx
>> X=A\B % 先以左除运算求解 1aAOT6h
=t,oj6P~
X = % 注意X为行向量 W`[VLi}fe
A %^?z.
-2 Y/s a v;
j9fBl:Fr
5 p/{%%30ke
N foHQU <n
6 " 9;
j,OA>{-$
>> C=A*X % 验算解是否正确 Q`k;E}x_-
JLd%rM\m
C = % C=B |Yl i~Qx
K*:=d }^
10 sPNm .W$_
/nO_ e
5 e| t x`yA
JG;}UuHYM
-1 U^_\V BAk
< WUgH 6"
>> A=A'; % 将A先做转置 f#l9rV "@g
:Racu;xf
>> B=[10 5 -1]; z};|.N }
_W S8I>
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 ew\:&"@2]w
y3;M$Jr
X = % 注意X为列向量 #ft9ms#N
;r@=[h
10 5 -1 KH2]:&6:Q
CbZ;gjgY*
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
