2.1微分 `k\grr.J
1Xy]D
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: sqx`">R
TG
n-7 88
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 '2hbJk
3CTX -#)vS
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 0"pVT%b
EoX_KG{
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 Dc~,D1xWj
(Lh#`L?x
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 Z,N$A7SBE
A5#y?Aq
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 ashcvn~z
4VN aq<8
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: dAJ,x
=`
`Lyq[zg8
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; {>0V[c[~
89o)M5KQ
>>S2 = 'sin(a)'; ,1Qd\8N9
'%v#v 3'
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; Np)3+!^1"
HOt>}x
>>diff(S1) U7&x rif
ba@ax3
ans=18*x^2-8*x+b bM;`s5d
;D ~L|
>>diff(S1,2) 3l!NG=R
} :iBx
ans= 36*x-8 ,KW;2t*IQ@
t$^l<ppQ
>>diff(S1,'b') Q/_[--0
(k-YI{D3
ans= x j{#Wn
!,
KB{RU'?f|
>>diff(S2) )J/HkOj"V
;mm!0]V
ans= a7H0!9^h
OQ_stE2i
cos(a) [nN7qG
jStmS2n
>>diff(S3) B_3QQtjAl
pLoy
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 /<)-q-W;
4h
5_M8I
>>simplify(diff(S3)) ?s}
%
D>ai.T%n
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 lpQP"%q
P1 +"v*
2.2积分 7r{qJ7$%
6=|&tE
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 vg%QXaM
f%^'P"R
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: <SXZx9A!
>POO-8Q
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 ESQ!@G/n
4~?2wvz G4
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 ol!86rky
pV`$7^#X
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 }*;EFR 6'
=v2%Vs\7k
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 P9#)~Zm}]
"h$R ]~eG
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 f>iuHR*EXB
2PC5^Ni/9@
我们示范几个例子: !c8L[/L
4^Qi2[ w
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ^KHLBSc:
n`5WXpz4;
>>S2 = 'sin(a)'; 2RNrIU I2
mX_)b>iW
>>S3 = 'sqrt(x)'; xe:' 8J6L
wz#[:2
>>int(S1) s"mFt{Y
(9.yOc4
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x ^ "6f\
+mWjBY
>>int(S2) 4
eh=f!(+
T&}Ye\%
ans= -cos(a) G\rj?%
ofCVbn
>>int(S3) ]6~k4
OhWC}s
ans= 2/3*x^(3/2) iz
x[
v&0d$@6/U
>>int(S3,'a','b') B3b,F #
#tz8{o?ebN
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) qzdaN5
fGO*%)
>>int(S3,0.5,0.6) E`E'<"{Yd
70`M,``
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) cIZc:
gduxA/aT
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 m# ad6
\
x`2pr
ans= 0.0741 ]Y5dl;xrM)
kkfCAM
2.3求解常微分方程式 Fzs>J&sY&
Yf(im
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , gE=Wcb!
4!'1/3cY
condition则为初始条件。 !$E~\uT
=
o+7xom
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 24|<<Xn
1Zq
y'=3x2, y(2)=0.5 "gg(tp45
z|%Bh
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 a@k.$
jaa/k@OG
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 Zjt9vS)
wz@/5c/u
对应上述常微分方程式的符号运算式为: >0M:&NMda
ahoh9iJ
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') qa;EI ;8
okh0_4
ans= x^3-7.500000000000000 ]TfeBX6ST
y3AL)
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 xO gq-@`
+DxifXtB
-_w~JCx
69OET_AS>
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') C &FN#B
59/Q*7ZJ
ans= atan(x^2+1) (V^QQ !:
q4zSS #]A
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') ~q5-9{ma
|'@V<^ GR
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) LNbx3W
oC
R>` ih&,)
b/G8Mr
d)9PEtI
2.4非线性方程式的实根 TA<hj[-8
L&rO6
要求任一方程式的根有三步骤: zH'!fhcy
BMe72
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, >Ziy1Dp
Z!k5"\{0pE
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 pO5v*oONz+
e$x4Ux7*"
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 tvK rc
7kOE/>P?
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 ?F!W#
y K=S!7p\
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 J~fuW?a]r
+0SW ?#%
例一、方程式为 i<0D
Z_rub
ho(5r5SNE
sin(x)=0 ?@yank|
*C
tsFS~
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: ,d3Q+9/
_Eszr(zJ
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 '"'D.,[W2
m]Hb+Y=;h
r=3.1416 aGdpecv
Ixyvn#ux)
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 |2[S/8g!
;,()wH
r = 6.2832 BJ_+z gf`
]L[JS^#7
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: z0=Rp0_W
J~M H_N
>> x=linspace(-2,3); U#OWUZ
#_JA5W+E
>> y=humps(x); wE-Ji<1HJ
z+y;y&P
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 cH+h=E=
u4`mQ6
UZ[/aq
NKupOJJq
K'a#M g
pjaiAe!k
>_|Z{:z]d.
|)
x'
~| 4U@
OHx,*}N
%AzPAWcN
)< &B