2.1微分 c nzPq\
ezn>3?S
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: \ *2IU"R
j{g {`Qa
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 [3.rG!Na
C\{4<:<_&
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 jnTl%aQYc
HZT;7<
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 NQG"}=KA
bbJa,}R
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 vzw\f
sR6(8
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 `Ao:}
t]x HM
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: ;Y"J j
J.<m@\U
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Z9U*SS5s,
=N=,;<6%A
>>S2 = 'sin(a)'; `G'V9Xs(
Bg`b*(Q
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; ,w6?}
N
-4Xr5j%o
>>diff(S1) (/Ubw4unI
L,WKL.
ans=18*x^2-8*x+b bYtF#Y
!rWib`%
>>diff(S1,2) qb_V
,b9
\c]/4C +/
ans= 36*x-8 cZu:dwE
9qpH 8j+
>>diff(S1,'b') SBEJ@&iB~
[ACYd/
ans= x DbcKKgPn(9
C>+UZ
>>diff(S2) gor6c3i
.C#}g
ans= 9xWrz;tzo
!-QKh aY
cos(a) C?B7xK
y|p:^41Ro
>>diff(S3) V><P`
~ e"^-x
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 DGU$3w
%$cwbh-{{
>>simplify(diff(S3)) DgdW.Kj|IL
'1w<<?vX?
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 !O5UE
xWD wg@ P
2.2积分 jk|0 <-3
a%AU9?/q#
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 :70oO}0m.
]8mBFr5E9
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: `mMD e
%pMW5]H
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 6wF?FtT
?XHJCp;f
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 u%|VmM>
oCduY2
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 9Dpmp|
MVdE7P
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 o6q Qzk
m:h]nm
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 sST6_b
C}!$'C|
我们示范几个例子: |6&"r&
tuv4~i<
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; _|*j8v3
BjB2YO& /
>>S2 = 'sin(a)'; eSvu:euv
tp1{)|pwY6
>>S3 = 'sqrt(x)'; |sI^_RdBv
VC.r
>>int(S1) P017y&X
c`iSe$eS
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x o$Jk27
/aK },+
>>int(S2) i P/I% D
bk8IGhO|m!
ans= -cos(a) ]03!KE
ztTpMj
>>int(S3) IlaH,J7n
rp
_G.C
ans= 2/3*x^(3/2) \>\w-ty[(
Pg`^EJ+
>>int(S3,'a','b') 7ed*dXY*
#a/lt^}C*
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) I&^?,Fyy<
}#Vo
XilX
>>int(S3,0.5,0.6) 1s*I
$mpfr#!&3o
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) C&"8A\we
wo?C7,-x
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 1XSqgr"3
R+^/(Ws'<
ans= 0.0741 @
#V31im"N
*{C)o0D
2.3求解常微分方程式 YN\
QwV
oVLz7Y[JE
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , _/KW5
MM^tk{2?.
condition则为初始条件。 YGxdYwBwf
1Og9VG1^
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 yqoi2J:
{B[i|(xQx
y'=3x2, y(2)=0.5 /R^!~J50
SK-|O9Ki
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 3 \kT#nr
|R+=Yk&u
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 Muarryh}
; I=z
对应上述常微分方程式的符号运算式为: ^P]: etld9
}3+q}_3
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') !FO92 P16
;E*ozKpm
ans= x^3-7.500000000000000 Qi[T!1
`5>IvrzXrK
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 | WDX@Q
RzyEA3L'
EkJo.'0@
*A_
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') s
n?
8^M5u>=t;
ans= atan(x^2+1) {VI%]n{M
;1"K79
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') 8fdOV&&D~i
tl#hCy
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) J,IOp-
ytJ |jgp'
jkfI,T
gAR];(*
2.4非线性方程式的实根 FxD" z3D
Th"7p:SE?
要求任一方程式的根有三步骤: RPLr7Lb
|rNm_L2
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, OD*DHC2rN]
QO|ODW+D
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 az`5{hK
76c}Rk^
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 R4{}ZT
sz}Nal$AC
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 p-ry{"XA
&9^c-;Vs
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 D:){T>
slw^BK3t
例一、方程式为 #+r-$N.7
{9P<G]Z
sin(x)=0 #&DJ3(T
wus]
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: }LE.kd&
`L:wx5?
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 sba0Q[IY
+y -:(aP
r=3.1416 `.><$F
zu*h9}
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 CVu'uyy
Ih"f98lV
r = 6.2832 >o(*jZ
vR:t4EJ`
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: ;m;wSp
t6LTGWs/_o
>> x=linspace(-2,3); FUMAvVQ
>2N`l
>> y=humps(x); {%~Sbcq4F
*mBn''a"*
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 mz/KGZ5t
R[o KhU
1q/z&@+B
z#O{rwnl
hj9bMj
pQW^lqwZ:6
`(16_a
GY0<\-
f61~%@fE
6I 2`m(5
48w3gye
,![C8il,
a!wPBJJ
WqwD"WX+w
hydn" 9;
>> r=fzero('humps',1.2) ?ILNp`k
F5)Ta?3|"<
r = 1.2995 e3',? 5j
s2&UeYbIs
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 +]UPY5:F
XbG=H-|
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: /n(0nU[
OhIUm4=|$
% m-function, f_1.m vChkSY([
J]$%1Y
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 `\#Qr|GC
#]n[
y=x.^3-2*x-5; m|e!1_:H
[gD02a:u
>> x=linspace(-2,3); 0(0Ep(Vj
=]"[?a >
>> y=f_1(x); "<bL-k*H)
DlTV1X-^1
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 `s@1'IG;R_
EYMwg_
SyTcp?H
Z=n& fsE
'(I"54W
7*u0)Hog
W@/D2K(
0p&:9|'z
bm(0raugs
0vDP-qJV-
RrGS$<
awo=%vJ&
vPpbm
c]&(h L
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 6lsU/`.
U{{RRK|
r = 2.0946 (#7pGGp*E
pcm|
>> p=[1 0 -2 -5] %k1*&2"1#
YIt:_][*
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 `d8}3D
+qjW;]yxP
r = Yb414 K
4jO~kcad
2.0946 ENjrv
NAHQ:$
-1.0473 + 1.1359i 69\0$O
G2rxr
-1.0473 - 1.1359i 2.?:[1g!
u.$.RkNMQ
2.5线性代数方程(组)求解 LBw,tP
tWL9>7]G
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 3p$ZHH.UP
H~@aT7
AX=B >8 VfijK
Cg8{NNeD
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 W=PDOzB>K
ApjLY58=
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 .|x0du|
}MuXN<DDb
如果将原方程式改写成 XA=B i1 C]bUXA
]!0 BMZmf
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 c$@,*c
0n
p;X[_h
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 l<GRM1^kU
-&@[]/
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 @DY0Lz;
DpI_`TF#$Z
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: ojtc Kw
mpK|I|-
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 Ay"x<JB{U2
nolTvqMT
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 D[:7B:i
K#+TCZ,
>> X=A\B % 先以左除运算求解 &!KJrQ
2ggW4`"c
X = % 注意X为行向量 "x3_cA~
",Ek| z
-2 R*VZ=i
E(8O3*=
5 I`DdhMi7
QO%>RG
6 _mA[^G=gY
o NJ/AT
>> C=A*X % 验算解是否正确 lT1*e(I
HgduH::\#
C = % C=B ft:/-$&H
an0@EkZ
10 bZ )3{
.E[k}{k,
5
2Xe2%{
5wP(/?sRy
-1 2*%0m^#^6
in(n[K
>> A=A'; % 将A先做转置 \muyL?
q\d'}:kfu
>> B=[10 5 -1]; oV,>u5:B
pd>EUdbrp&
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 \A keC 6[D
)x?F1/
X = % 注意X为列向量 >:KPvq!0
~)sb\o
10 5 -1 3Mr)oM<Q
3U1xKF
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解