2.1微分 ]HNT(w@
nK?k<
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: UZ4tq
]zhq.O
>2{
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 ,%)WT>
d!}jdt5%
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 o5*74Mv
GM9]>"#o\
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 JhMrm%
3IU$
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 &geOFe}R
-tK;RQYax
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 32iWYN
xvdnEaWe$
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: By"^ Z`EP4
G(7\<x:
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ' F 6au[
#RLch
>>S2 = 'sin(a)'; TeGLAt
/\3XARt
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; BZ\EqB
AT8B!m
>>diff(S1) Ybn=Gy
mTXNHvv
ans=18*x^2-8*x+b +X%fcoc
?VOs:sln
>>diff(S1,2) $E4O^0%/p
',J%Mv>Yf
ans= 36*x-8 0+2Matk>.
@0/@p"j
>>diff(S1,'b') 6&OonYsP
t;e]L'z@:
ans= x L3G)?rPFC#
!cFE^VM_;
>>diff(S2) A\PV@w%Ai
AP?{N:+
ans= 0\_R|i_`>
MeK\eZ\
cos(a) ZZFI\o
zOu$H[
>>diff(S3) PE;0
jgsiI
8tFyNl`c
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 ]uj.uWD
xt<,
(4u
>>simplify(diff(S3)) g6a3MJV`
u
UVV>An
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 {L2Gb(YLW
<8z[,X}bM
2.2积分 bcx{_&1p
%BYlbEx
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 B'BbTI,
uy*x~v*I]
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: <,]CVo
1^H<+0
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 {</$ObK
L&gEQDPgq|
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 &_%+r5
O,xAu}6f+
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 E6^S2J2
#V9hG9%8
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 Kn9=a -b?,
YT 03>!B
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 fPk9(X;G!p
aab4c^Ms=
我们示范几个例子: Kp=3\) &
+KwF
U
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; PJ11LE
? Ge*~d
>>S2 = 'sin(a)'; )'I<xx'1
iN9!?Ov_
>>S3 = 'sqrt(x)'; T[! q&kFB
buM>^A"
>>int(S1) ;0X|*w1JO
9q@YE_ji
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x v=Bh
A9[
fN%5D z-e
>>int(S2) \ g[f4xAV
{j=hQL3
ans= -cos(a) KZ
>"L
jeuNTDjeL
>>int(S3) N4]6LA6x6
H><mcah
ans= 2/3*x^(3/2) #1!BD!u
~i&< !O&
>>int(S3,'a','b') AQNx%
SFPIr0 u
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) vFvu8*0
kd4*Zab
>>int(S3,0.5,0.6) 0}C}\1
>`V|`Zi ?
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) iU+,Jeu
_nFvM'`<
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 :<7>-+pa
]~ 8N
ans= 0.0741 9l^
Q+js2?7^
2.3求解常微分方程式 "N:]d*A\
j\L$dPZ
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , Glc4g
TV>R(D3T/
condition则为初始条件。 {rJF)\2
`e;Sjf<
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 [ Zqg"`
cZF;f{t
y'=3x2, y(2)=0.5 QS?9&+JM |
B-p5;h>
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 7
,~Krzv
\yizIo.Y`
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 _~&vs<
;HwJw\fo
对应上述常微分方程式的符号运算式为: ;Wm)e~`,
\D k^\-
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') Fm~}A4
5{f/H]
P
ans= x^3-7.500000000000000 Y$5v3E\uc
&`y_R'
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 ;8Q?`=a
7Ki7N{Kt
TK?N^ly
`X03Q[:q"[
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') U,}T ]J
>a~FSZf
ans= atan(x^2+1) qGUe0(
z9c=e46O
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') }j@@
u+FftgA
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) ?bi^h/f
l zknB
5.UgJ/
*Z(C')7r
2.4非线性方程式的实根 l_IX+4(@b|
!Bbwl-e`
要求任一方程式的根有三步骤: pODo[Rkq
:#KURYO<
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, O@&I.d$
&,|uTIs
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 Ykq }9
=v"{EmT[$
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 OtqLigt&l
g{{SY5qDj
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 01w/,r
+@v} (
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 'v)+S;oB
v)pWx0l=
例一、方程式为 1#RA+d(
RtEkd_2
sin(x)=0 ho<#i(
S(xA}0]
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: N/.9Aj/h~&
Qp Vm
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 DzOJ{dF
7nIMIkT:
r=3.1416 q@>
m~R
n-WvIy
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 Ds/zl Z
l,8|E
r = 6.2832 wpmtv325
K|!)<6ZsG7
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: RH'R6
N.rB-
>> x=linspace(-2,3); v:b%G?o
`;hBO#(H0}
>> y=humps(x); bsVOO9.4-
--D`YmB
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 ,^T2hY`
!%=k/|#
evP`&23tP
@UBp;pb}=h
/ nRaxzf'
W`kgYGnFG
N/p_6GYMa
o!d0
ea/6$f9^
0eIR)#j*
%vzpp\t
D':A-E
U[u6UG
!Zx>)V6.
)/w2]d/9
>> r=fzero('humps',1.2) `WL*Jb
,kI1"@Tu
r = 1.2995 &kt#p;/p?
==9Ez
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 a!.8^:B&
!Ai;S
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: Orgje@c{
qKXn=J/0tA
% m-function, f_1.m v%w]Q B
,'}ZcN2)
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 9EW 7,m{A
9`{cX
y=x.^3-2*x-5; CJ >=odK[
%8/$CR
>> x=linspace(-2,3); 9:WKG'E8a
zjS<e
XLs[
>> y=f_1(x); BDg /pDnwg
_4w%U[GT,
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 BH1To&ol
ZBWe,Xvq
>Ww F0W9?
qYs6PLC
TfOZ>uR"g
*9PQJeyR
{z7{ta
8,Z0J
m[XN,IE#u
0ni5 :tYy
go@}r<