2．1微分 `Kp FH.k.K
e Om< !H
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： OM.k?1%+M
?;|@T ty%
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 c,y|c`T 2
+T0 op4
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 ba uA}3
j8GY`f#
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 bMN@H\Ek
keLR1qf
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 {O^TurbTFA
.u1X+P7
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 9>by~4An?
LY]nl3{E
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： 7J9l.cM3
D ]OD.
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; gmh5
%2M
2fl4h<V
>>S2 = 'sin(a)'; yu)q4C7ek
bfgz1
` u
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; TQP+>nS,
h a*X6R
>>diff(S1) Sd},_Kh
OJAx:& ]3
ans=18*x^2-8*x+b CI`N8
f=v
z[fB!O
>>diff(S1,2) !;%y$$gxh
3bC+ Mco
ans= 36*x-8 b'i'GJBQ+$
dUS ZNY
>>diff(S1,'b') aG%kmS&fv
^ [k0k(_
ans= x `} =yG_!A
Nl@k*^
>>diff(S2)
(}Sr08m
<FY&h#
ans= u~W{RHClW
;54(+5pqx
cos(a) ) Qq'Wp3i
y&"!m }
>>diff(S3) aD9rp
V
#~^btL'dHF
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 rK 7W(D}
Cq>6rn
>>simplify(diff(S3)) z{:-!oF&CB
e+'%!w"B
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 B0d%c&N${
jd 1jG2=f
2．2积分 u$%A#L [
q$[n`w-
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 KOey8tB)1
, _ jC$
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： c%z'xM
vJ"i.:Gf4
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 )%mg(O8uL
BkawL,
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 a(;!O}3_)(
2*[QZ9U[@
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 FJeiY#us
;I}' }
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 }7eh F6
x5}lgyt
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 yto[8 ;)_
K R, z^9
我们示范几个例子： `'i( U7?
Xc*U+M >U
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 5.vG^T0w
%{!R
l@
>>S2 = 'sin(a)'; C!+I>J{4f
1@>$ Gcc
>>S3 = 'sqrt(x)'; dRW$T5dac
Z^yNLF *&V
>>int(S1) \OQkZ.cU;
${I*nh >=
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x ,
sjh^-;
OcmRZ
>>int(S2) 7I9aG.;
(YPi&w~S
ans= -cos(a) KkcXNjPVS
0|c}p([~
>>int(S3) os4{0Mxu
h !gk s-0
ans= 2/3*x^(3/2) D:"{g|nW }
]y#3@
>>int(S3,'a','b') DY\J[l<<
Kcy@$uF{2
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) u0 QzLi,
lk3=4|?zsE
>>int(S3,0.5,0.6) PL X>-7@
GbI-SbE
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) .fAv*pUzU
aC%&U4OS
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 r)^vO+3u
k V;fD$iW;
ans= 0.0741 i#/]Ks Sp
- +> 1r
2．3求解常微分方程式 :| +Qe e
S >yLqPp
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， =Lk R!R=
aNxAZMg
condition则为初始条件。 58 bCUh#uw
GZip\S4Y
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 _oG&OJ@
v&a4^s
y'=3x2, y(2)=0.5 up>c$jJ
1 v zb8.
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 TX=yPq
A A^{ B
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 (wRgus
PjKEC N
对应上述常微分方程式的符号运算式为： |`TgX@,#9
1)m@?CaI`
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') U8.7>ENnP&
H@bf'guA|B
ans= x^3-7.500000000000000 F$BbYf2i
i|`dWOVb
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 N@ \&1I`c$
q z?mh4Oh
-m
*Sq
J N+_| `
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') 1u3, '8F
^ XbU~3(
ans= atan(x^2+1) R;,g1m|]
v6.t{6zYgY
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') ,# M Cn
a=cvCf
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) k:jSbbQ
S*o[Z A
;OqB5qd
&xRo^iV?
2．4非线性方程式的实根 Gx`L ks
*Kdda}
J+
要求任一方程式的根有三步骤： pRkP~ZISU
Xs: 3'ua
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， O nQdq^UB
_XCOSomL`
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 .X# `k
hn#1%p6t
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 y; _% W
i&{DOI%w
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 , ]bB9tid
zR 2B-
&]H
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 ]a5 f2l E
(L^]Lk
x)
例一、方程式为 pe^u$YE
94B\5I}
sin(x)=0 0 a80 LAK
89r DyRJ;
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： /p8dZ+X
%CK^Si%+
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 |*}4 m'c
>=[(^l
r=3.1416 B95B|tU>.
")d`dj\o
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 0`^&9nR
z^T`x_mF
r = 6.2832 "'D=,*
rqY`8Ry2M
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： sBcPq SMby
?Y@N` S
>> x=linspace(-2,3); |`.([2
y3fGWa*7e
>> y=humps(x); A!h`]%0B
j KoG7HH
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 rk #sy$
@)fd}tV
Zpn xecJUJ
R6] Gk)5
:Of^xj>A
UEguF &
Ft&]7dT{W
ZjF 4v
<ZNzVnVA
#w' kV#
I NJEsz
NxsBX :XDn
,%M$0poKM
tNbN7y I
v_De dVhe
>> r=fzero('humps',1.2) / G7vwC
ee^{hQi
r = 1.2995 NA ~Vg8
]?!mS[X
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 T( U_
vkri+:S3
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： ++`0rY%
5:KQg
% m-function, f_1.m ' F9 jq
Pu" P9
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 zd >t-?g
&7K?w~
y=x.^3-2*x-5; T7hcnF$
Q o{/@
>> x=linspace(-2,3); -#N.X _F
#Up86(Z
>> y=f_1(x); h eV=)8
ddJe=PUb
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 <+?7H\b
]QlwR'&j/n
]H+8rY%+
lww!-(<ww
3
:<WY& 9
qKr8)}h
CTq&-l:f
h7lDHIQf
l)1r+@) \
e#$]Y?,
;;6uw\6
O
-z)n?(pftm
$QN"w L||
UCB/=k^m
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 0=2@
KY$ )#i
r = 2.0946 "Q@ronP(~
^:^9l1]
>> p=[1 0 -2 -5] 7QiIiWqIWC
4;yKOQD|
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 MOQ*]fV:
dx M On
r = "n(hfz0y%
#S!)JM|4wk
2.0946 hK L4cpK4
!Qu"BF
-1.0473 + 1.1359i R3gdLa.
r!_-"~`7E
-1.0473 - 1.1359i xr4 *{v
5Ha9lM2gh
2．5线性代数方程（组）求解 RzE_K' M
ls\WXCH
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 S&Zm0Ku
. qO @Q =
AX=B C~,a!qY
5F)C jQ
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 +"
.X
)avF
%*A0# F
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 A5c%SCq;
s~ a"4~f
如果将原方程式改写成 XA=B `2("gUCm
Rr&h!YMb
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 %g{X ?
_S<3\%(0
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 #A1%gIw<v2
YxYH2*q@
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 x kx^%3dV
@vC4[:"pD}
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： -$,TMqM
DE}K~}sbd
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 Xix L R
Gw/Pk4R
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 36}?dRw#p
4Tb
#fH%
>> X=A\B % 先以左除运算求解 2V mNZ {<
'N (:@]4N
X = % 注意X为行向量 Q{s H3Y#l
e2 4WW^S
-2 eVjBGJ=2e
rK' L6o
5 {f/~1G[M
I667Gz$j5
6 > kG GR
JFcLv=U
>> C=A*X % 验算解是否正确 S'Q@ScJ
oR)Jznmi}
C = % C=B .F9 8G/s
+ [iQLM?zo
10 \FQRNj?'_
o |{5M|nD
5 d [@ X%
E:UW#S%A
f
-1 [_R~%Yh+'E
[L3=x;U
>> A=A'; % 将A先做转置 p|X"@kuseO
Qf~vZtJ+J
>> B=[10 5 -1]; <G S^
DrKP%BnS
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 B]nEkO'a:
BRw .]&/
X = % 注意X为列向量 yZ0-w I
,?J!
10 5 -1 U f:`
{f Py=,>Nb
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
