2.1微分 B+FTkJ0t+G
$Y/z+ea
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: (F'~K,0
3\2&?VAjR
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 d^'_H>x
@.e4~qz\
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 o]0E
<_/etw86Z
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 `y'%dY}$n
i(A`'V8GY
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 r[E #JHw
F]OWqUV
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 k1[`2k:Hk
K81FKV.
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: NiG&Lw*8
s\.r3U&6
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ;4+z~7Je]^
8\il~IFyi
>>S2 = 'sin(a)'; w[2E:Nj
i% 0qN
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; Tu:lIy~A
`DSDu Jw%
>>diff(S1) YloE4PAY7
L{sFR^-G
ans=18*x^2-8*x+b
,-])[u
:|l0x a
>>diff(S1,2) dsEvpa$?
)m-(- I
ans= 36*x-8 *h?*RUQ
w_@6!zm
>>diff(S1,'b') C
B;j[.
:CM2kh"Iu
ans= x Z'AjeZyyE
m%U=:u7#M
>>diff(S2) }lk9|U#6*`
UXa%$gwFw
ans= z'Bvjul
;{m;CKHI
cos(a) BAqwYWdS
?zo7.R-Vac
>>diff(S3) |r*y63\T
GWx?RIKF
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 1\jj3Y'i'
5=s|uuw/
>>simplify(diff(S3)) Nj;(QhYZ
wC1)\ld
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 $9@Z\0
IFSIQ
q
2.2积分 gd)VL}k
d.sn D)X
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 =+e;BYD#!
|$T?P*pI.
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: * se),CP!s
FN0<iL
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 *@
\LS!N
Ze`ms96j{
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 ohPXwp?]
yWYsN
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 Si;eBPFH
: 2L-Nf
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 ?f6Fj
gC@=]Y
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 >+BLD
q_6<}2m,U
我们示范几个例子: !O,`Z`T?
9@(V!G
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Yu9(qRK
b<g9L4s
>>S2 = 'sin(a)'; _t7aOH
%Y].i/".;P
>>S3 = 'sqrt(x)'; :as2fO$?
v~O2y>8Z
>>int(S1) \T!tUd
Cp-p7g0wlg
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x |>p?Cm
9H%L;C5<
>>int(S2) H+5N+AKb@
j|WN!!7
ans= -cos(a) NSh~O!pX
|P=-m-W
>>int(S3) M[dJQ(
E7Pz~6
ans= 2/3*x^(3/2) pu+jw<7
c(S66lp
>>int(S3,'a','b') gM#]o QOGE
!vSj1w
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) h1N{;SWQ
"\Nn,3qp
>>int(S3,0.5,0.6) }W"/h)q
ytGcigw(P
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) AtlUxFX0S
bu r0?q
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 4}HY= 0Um
Hn,;G`{
ans= 0.0741 7pz #%Hf
m:{IVvN_
2.3求解常微分方程式 [,ns/*f3R
lxD~[e
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , PeB7Q=d)K1
g~$cnU
condition则为初始条件。 h>'Mh;+
-Fs<{^E3j
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 DlbNW& V
Dj@7vM%_
y'=3x2, y(2)=0.5 kC-OZ VoO
0h~7"qUF@
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 +/~;y{G..z
(\NZ)Ys
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 /jv4#9
qUtlh,4)
对应上述常微分方程式的符号运算式为: a{7'qmN1
EAXbbcV
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') Vq<\ixRi
%Y// }
ans= x^3-7.500000000000000 leJ\
N1i%b,:3
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 mXXU{IwUe
-}9a%
<mdHca
jUCrj'
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') u3ns-e
e2l!L*[g
ans= atan(x^2+1) E;AOCbV*$
yJAz#~PO/
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') z8\z`#g!
I7q}<"`
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) =;?afUj
{:0TiOP5x
+:?"P<'
V1Opp8
2.4非线性方程式的实根 1z$K54Mj
i917d@r( <
要求任一方程式的根有三步骤: 05gdVa,
(W4H?u@X0
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, -'mTSJ.}
UiLiy?EJ
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 2Ub!wee
HJeZm
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 =7212('F
V 0M&D,
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 + =N#6#1
(!B1}5"
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 r0fxEYze&
E\Et,l#|LY
例一、方程式为 9#X"m,SB
[uD G;We=
sin(x)=0 :sL?jGk\
tlJ@@v&=
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: Q'qz(G0
L6=`x a,
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 .Do(iYO.L
[DzZ:8
r=3.1416 u?B9zt%$-m
o1zKns?
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 nWz7$O
&K.js
r = 6.2832 -L&%,%
s7>a
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: \]=''C=J
MGU%"7i'}
>> x=linspace(-2,3); o3OtG#g2
X&14;lu%p
>> y=humps(x); GI _.[
#l?E2
U4WL
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 y1c2(K>tu
p]E \!/
jC}2>_#m(
{|D7H=f
{usv*Cm
QDdH5EfY
V|W[>/
64R~ $km
sRkPXzK
Yw_^]:~
r&_bk
Y%
L }L"BY3$
!}pvrBS
@D@_PA)e(
o@47WD'm
>> r=fzero('humps',1.2) eOU v#F
!<#,M9
EA&
r = 1.2995 ,|G~PC8
* ,#SwZ
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 % db
YM.Q?p4g
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: :-)H
ty zf
/JbO $A
% m-function, f_1.m 3EO:Uk5<
'"M9`@Y3^
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 ]b'"l
C=,O'U(ep
y=x.^3-2*x-5; l:- <CbG
ZXH{9hxd
>> x=linspace(-2,3); /n-!dXi
+b_o2''
>> y=f_1(x); _oAWj]~rO
~b;u1;ne
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 :&`,T.N.vK
EaN1xb(DYa
y1Op Z
Bm4fdf#A]
$*q^7ME
B`mTp01
teX)!N [
~.&PQE$DF
JS2h/Y$
=" ;G&)H-
}=$>w@mJ
8d1r#sILI
`RHhc{
88g|(k/
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 b`&
:`
F~;UD<<"H
r = 2.0946 9:JQ*O$
CXd/M~:!
>> p=[1 0 -2 -5] SbK6o:[
J7FzOwd1h
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 Vqp3'=No
S pIdw0
r = k@}g?X`8
Q/]t$
2.0946 $iMbtA5aQ
^t}8E2mq
-1.0473 + 1.1359i O/Mx$Q3re
jeWI<ms
-1.0473 - 1.1359i ;Z!x\{-L
^^(!>n6r^
2.5线性代数方程(组)求解 4 zhg#
1
.Nfl@]
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 ^u-;VoK
"Ta"5XW
AX=B <_3OiU=w
T
)!kJ;vc
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 %_.
fEFy07
nA#N ,^Rr
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 RxO!h8
F2!]T =
如果将原方程式改写成 XA=B s`I]>e
|m F=X*
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 6H^=\
K+3+?oYKH
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 XOT|:
/Y0oA3am
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 -(JBgM"
kK_9I (7c
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: W0k7(v)
a_(T9pr
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 g).IF.
W*~[KdgC
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 0S#T}ITm4Z
w`X0^<Fv
>> X=A\B % 先以左除运算求解 89P'WFOFK
6Sz|3ms
X = % 注意X为行向量 g=e~YM85
L XHDX
-2 IiM=Z=2
C`["4
5 MnTqWC90
COH9E\ZGF
6 {xRO.699
D]?yGI_
>> C=A*X % 验算解是否正确 S!8q>d,%L
|-`-zo4z
C = % C=B s|D[_N!|
",pd 9
10 #'8'5b
cv"Bhql
5 0aa&13!5
|h-e+Wh1
-1 n8Rsle`a
q$kx/6=k
>> A=A'; % 将A先做转置 yV t8QF!
Odr<fvV,>
>> B=[10 5 -1]; AHet,N
]ASTw(4
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 #Q/xQ`+|.
YQ`88z
X = % 注意X为列向量 ^_t7{z%sA[
O{Y*a )"
10 5 -1 q"VC#97`
TJUYd9O4[
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解