2．1微分 .z0NMmz0z
!Pd@0n4
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： /u?Zw oTzY
w=JO $7
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 x
*:v]6y
z{$2bV
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 V7DMn@Ckw
,58XLu
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 2PZ#w(An&
r`-=<@[
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 Wz{,N07Q#{
N_L ~oX _
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 n4Xh}KtH
`
ES-LLhVf
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： GW{e"b/x
`-Y8T\
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; uE E;~`G
`s8* n(\h
>>S2 = 'sin(a)'; %/; *Ew wb
@qUgp*+{
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; VcX89c4\
T:/m k`>
>>diff(S1) tW-wO [2
]Xm+-{5?!R
ans=18*x^2-8*x+b y j E $o?A
;}B6` v
>>diff(S1,2) E5iNuJj=f
CWdpF>En
ans= 36*x-8 unvS `>)Np
Z X0 #I W
>>diff(S1,'b') u!CcTE *
z"%{SI^
ans= x zQ~N(Jj?h
h~`^H9?M
>>diff(S2) #Iv HxSo&
um,G^R
ans= tNvjwgV\
>BWe"{ ;
cos(a) 0<FT=tKm
tqD=)0Uzs
>>diff(S3) :l U#Dm]
R :*1Y\o(
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 `(uN_zvH
u u $Jwn!S
>>simplify(diff(S3)) {[ pzqzL6
2`^M OGYk
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 yz7Fe
'ws@I?! r
2．2积分 .k -!/ ^
Egt !N
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 719lfI&s
i~"lcgoO
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： * ,L e--t
k
1l K`p
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 qm/#kPlM
dv cLZK
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 M 4E|^p=5
RF }R~m9]
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 9
lXnNK
|]
bfq%.<W
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 Z&|Dp*Z
BU<Qp$ &
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 ]T=o >%
.I I o
我们示范几个例子： V'FKgzd
# AH gY.
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; f5z*AeI
{)I&&fSz
>>S2 = 'sin(a)'; fQxlYD'peb
X`C ozyYuD
>>S3 = 'sqrt(x)'; ,&iEn}xG7i
m KJO?7tj
>>int(S1) q*! Vyk
=5O&4G`}
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x kl|m @Nxp
d@? zCFD
>>int(S2) qtjx<`EK>
JM fv|>=
ans= -cos(a)
_ 'K6S
6?'; ip
>>int(S3) 4D[(X=FSU
.[
s6x5M
ans= 2/3*x^(3/2) z(#CO<C.t
79 \SbB
>>int(S3,'a','b') !KtP> `8
=% S*h)}@
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) PKZMuEEy,
3F9 dr@I.7
>>int(S3,0.5,0.6) WtlLqD!_D
bSW~hyI w
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) x| *m ok
S" PJ@E}^E
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 ]4Q~x
:cA8[!
ans= 0.0741 ;73{n*a$
~3$:C#"Dl
2．3求解常微分方程式 ;y;UgwAM
n{!=g R.v.
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， 8"ulAx74>
$*j)ey>
condition则为初始条件。
eI/@ut}v
BO>[\!=y
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 km,@yU
^@$T> SB1
y'=3x2, y(2)=0.5 acI%fYw5p`
/~+ j[o B
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 fS4 Ru
X
CHN'l'
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 nc?Oj
B
#Wt1Ph_;
对应上述常微分方程式的符号运算式为： k^%F4d3z@C
H284
]i
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') v"sN
K
~V/?/ J$
ans= x^3-7.500000000000000 rs@qC>_C0
{;= { abj
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 (wp?tMN5#
zLjQ,Lp.I
nC\LDeKc
~Dj_N$_+9
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') O/ZyWT
`o%Ua0x2
ans= atan(x^2+1) fn.}LeeS>
t.] e8=dE
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') ;h4w<OqcM
4K! @9+Mz
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) *KPNWY9!W
`%.x0~ ih
0*:4@go0}i
=
$6pL
2．4非线性方程式的实根 gal.<SVW
$B@K
要求任一方程式的根有三步骤： }#E~XlX ^
zg{
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， M!iYj+nrP
h| .*V$3
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 lLZ?&z$
5x}Or fDU
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 I< Rai"
**Q
K}j[D
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 zqb3<WP"
-;t]e6[
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 6E.64+P Jw
5OX5\ #Ux
例一、方程式为 u/4|Akui
D4ud|$s1
sin(x)=0 % I;iP|/
g/ x\#W
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： m>-(c=3
N,u ~ZEI
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 fQ~YBFhlr
mYqR N1%
r=3.1416 & ^JY
n*i1QC
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 X"
;ly0Mb
R6 dD17
r = 6.2832 %/=#8v4*
\S"YLRn"
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： #zc{N"!
L51uC ,QF
>> x=linspace(-2,3); 0 x8aKq\'
"K-2y ^Dl
>> y=humps(x); @|J+ f5O
ue#Y h
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 F#$[jh$
j%OnLTZ
U^{'"x+
m' suAj0
& l NHNu[
qddP -uN
,-{ 2ai_
x'wT%/hp
\!,@p e_
c`h/x>f a
(@1*-4l
l/w <R
I!sB$=n
Rw\S-z/
CGkCLd*s]
>> r=fzero('humps',1.2) ~#jD/
2u|} gZts
r = 1.2995 SmYY){AQ/
= A;B-_c
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 QBiLH]qa
W g2Y`2@t
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： *R^u lp[W
R)?zL;,x
% m-function, f_1.m pC'GKk 8
pu +"bq
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 1Q ^YaHzuW
P ME
?{%&
y=x.^3-2*x-5; P7i
G,i
uk~4R@=&H
>> x=linspace(-2,3); r*!sA5
RuHM D"
>> y=f_1(x); HrZ\=1RB
9V=bV =4:
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根
uT??t=vb
Z '~y Uo=
-S"$S16D
@i[z4)"S
JS<4%@
1&@s2ee4
$MEK t}S
-
zQ
P]@m0f
'e4 ;,m
\e/'d~F
IP` ;hC
% :eep G|
9
1r"-%(r
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 Jy x6{O j
U >z8gdzu
r = 2.0946 "s]c79t
rI5)w_E?
>> p=[1 0 -2 -5] \Om<
FH}
I
=t{ u;
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 xrK%3nA4s"
tndtwM*B'
r = I T)rhi:
K bY5
qou
2.0946 1|VnPQqA
`V@{#+X
-1.0473 + 1.1359i *FkG32k
F(8> "(C
-1.0473 - 1.1359i p*rB T,'
AWP CJmr
2．5线性代数方程（组）求解 p
AzPi
7mSVL\\^
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 ;K:) R_H
yFT)R hN
AX=B RpE69:~PV
&P%3'c}G
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项
L[d 7@
\k1psqw^O
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 "qRE1j@%a
xS` %3+|
如果将原方程式改写成 XA=B !aD/I%X
zLlu% Oc
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 FLO#!G
Ctxs]S tU%
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 c,1Yxg]|
M$z.S0"
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 < @}~Fp@
M* (]hu0!
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： :0.Z/s -
bIP{ Dx KS
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 #]i*u1
*r)/.rK_
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 aD,sx#g0
Us'm9 J
>> X=A\B % 先以左除运算求解 Vh :%e24Z
@eN x :}
X = % 注意X为行向量 dF*@G/p>V
8/f ,B:by
-2 }u&.n
pc
"_JGe#=
5 FW: x XK
N. C<Mo
6 .N8AkQ (Ok
| eIN<RY5
>> C=A*X % 验算解是否正确 mHo}, |
~#dNGWwG
C = % C=B @^:R1c![s
<k'=_mC_
10 5 fjeBfy
w:
~66 TCI
5 eOjoxnD-$
a&~d ,vC
-1 Z VuHO7'
|k:MXI
>> A=A'; % 将A先做转置 TmG$Cjf84
}.Ht =E]
>> B=[10 5 -1]; _e$15qW+
q4<3 O"c1
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 L5E.`^ ?
.oYUA}
X = % 注意X为列向量 0.C y4sH'
S,m)yh .
10 5 -1 (7q!Z !2
ppjd.
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
