2.1微分 k`>qb8,
DH\Ox>b=
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: lJAzG,f
`{YOl\d_
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 0i[t[_sce
7x`$ A
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 6T4"m
`GqF/?i
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 bzpi7LKN
6p;Pf9
f
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 %pg)*>P h
w#9.U7@.
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 * g+v*q X
1Mq"f7X8
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: C,;<SV2#
<EyJ $$
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; LL:N/1ysG
TS=%iMa
>>S2 = 'sin(a)'; q:>`|~MX
*W2] Kxx*
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; Fc=F2M o?
=WCE "X
>>diff(S1) LU*mR{B
$m>( kd1
ans=18*x^2-8*x+b 7 HL
Uk3
^38kxwh
>>diff(S1,2) cJT_Qfxx
8fvKVS
ans= 36*x-8 F9w2+z.
:'t"kS
>>diff(S1,'b') ~&0lWa
mFpj@=^_G
ans= x T8LvdzS
ZWFOC,)b
>>diff(S2) /jaO\t'q
zxv y&
ans= /ORK9g
][z!};
cos(a) <6N3()A)%1
ctb
, w
>>diff(S3) $ ga,$G
>SZuN"r8`
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 1:h(8%H@"
,^iT,MgNNf
>>simplify(diff(S3)) dg N#"
kad$Fp39
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 /KiaLS
) \cnz
2.2积分 UBwYwm0
4mGRk)hk:>
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 \>/AF<2"
zS\m8[+]
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: dZJU>o'BG
wGz_IL.D
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 jN+2+P%OL
p{V(! v|
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 '~6l
6wi
/{ 8 .Jcx$
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 ]_y;Igaj
Q!fk|D+j
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 )/v`k>E
d D^?%,a
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 ,(yaWd6
e $5s],,n
我们示范几个例子: xUs1-O1i
KC\W6|NtGj
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ~r]$(V n
#
WL5p.
>>S2 = 'sin(a)'; Zvz}Z8jW
}Oy/F
>>S3 = 'sqrt(x)'; F.R0c@&W
na/,1iI<
>>int(S1) w4&-9[@Y
m`3gNox
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x ?7*J4.
apm,$Vvjy
>>int(S2) TkjZI}]2
Of$gs-
ans= -cos(a) @v\jL+B+m
~!dO2\X+
>>int(S3) dC}4Er
Fc"+L+h@W
ans= 2/3*x^(3/2) y=WCR*N
2Y9@[
>>int(S3,'a','b') 3rv~r0
cy_zEJjbD
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) *7/MeE6)i
v.]W{~PI2V
>>int(S3,0.5,0.6) U| 1&=8l
cNRe >
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) q}7(w$&
0bMbM^xV6
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 yCye3z.
Zv1/J}+
ans= 0.0741 BO=j*.YKy
m[*y9A1
2.3求解常微分方程式 Fm.IRu<\`
FkIT/H
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , WO6; K]
t.m C q4{
condition则为初始条件。 _;5N@2?
V}"w8i+D?
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 [kg*BaG:
p[gq^5WuC
y'=3x2, y(2)=0.5 N]@e7P'9F
ig,v6lqhM
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 ,1-#Z"~c
r*s)T`T}}
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 J"RmV@|
2JRX ;s~
对应上述常微分方程式的符号运算式为: i/WiSwh:
P&]PJt5
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') f<~S0[H
< {dV=
ans= x^3-7.500000000000000 ;*EPAC+
&8wluOs/5
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 o.H(&ex|
;;l-E>X0
o5 eFLJ6
e!~x-P5M`
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4')
rN^P//
~,.}@XlgT.
ans= atan(x^2+1) r6eApKZ>f6
}7jg>3ng(
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') %7bZnK`C
t{)J#8:g
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) BPzlt
?rgk
oVSq#I4
{n>W8sN<
2.4非线性方程式的实根 UN*XLHio
j8ebVq
要求任一方程式的根有三步骤: *b0f)y3RV
d4zqLD$A
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, %@d~)f
.AgD`wba
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 $w$4RQk3n
RGim):1e
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 m^)h/s0A
e:
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 Ug^v
]B9
p$cSES>r:
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 J<{@D9r9<~
&ii3V