2．1微分 :/[YY?pg-
P>T*:!s ;
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： q3-;}+
W x|6A#cg!
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 5652'p
ls "\YSq$
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 ?*R^?[
:iQ^1S` pH
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 b)hOz x
l6B ^sc*@
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 9h38`*Im;
@
U8}sH ^
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 e N< pU%7
/-K dCp~
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： "4k=(R?
W8yfa[z~J
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Ddl% V7
E"1 ;i
>>S2 = 'sin(a)'; ul=a\;3x#|
/IJ9 _To
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)';
~\:j9c C
zj$_iB`9
>>diff(S1) dI
ZTLb"a
:
9?Cm`
ans=18*x^2-8*x+b Y\g90
Xq^y<[
>>diff(S1,2) Q"6hD?6.
n|mJE,N
ans= 36*x-8 !!+/Wgd:6
`\|3
~_v
>>diff(S1,'b') ,4>WLJ Do
\, %o>M'
ans= x $>h!J. t
kJ vy<(iG
>>diff(S2) %I|+_ z&x
{c\oOM<7
ans= ,'1Olu{v[s
(:y,CsR}4
cos(a) w-'D*dOi
3dX=xuQ%/
>>diff(S3) Ef_F#X0#
bco[L@6G$
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 8MeO U
Xc9p;B>^Ts
>>simplify(diff(S3)) n<%=~1iY+
dp
UdFuU"
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 @ O<@f8-
zhA',p@K?_
2．2积分 v`_i1h9p{
v/aPiFlw
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积
m[@%{
vNK`Y|u@
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： p(H)WD
$||ns@F+
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 y= oVUsG
\=E Y@ *=
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 3I; xU(rv
w]W `R.
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 38w.sceaT
02 79g
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 (pT(&/\8
/jjW/ lr
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 xq Q~|
\8>
我们示范几个例子： 2|0Qk&
}DDVGs [
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; R8=I)I -8
SLQ\Y%F
>>S2 = 'sin(a)'; )p/=u@8_f
P|e:+G 7
>>S3 = 'sqrt(x)'; }&Wp3EWw
;T5,T
>>int(S1) J$6-c' 8
H)`C ncB
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x H}) Dcg3
Q
SHx]* )
>>int(S2) 6m, KL5>W
\A'|XdQ
ans= -cos(a) (C-,ljY
z`emKFbv
>>int(S3) 97qtJ(ESI
J{Y6fHFi
ans= 2/3*x^(3/2) F,p`- m[q
e5qrQwU
>>int(S3,'a','b') u%6Ird x
c N02roQl
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) &Q-[;
a"0B?3*r46
>>int(S3,0.5,0.6) [+g (
/v}P)&
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) (R4PD
E^Q@9C<! d
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 Af2=qe
kq) +@p
ans= 0.0741 ~q0I7M
H v8SYQ|
2．3求解常微分方程式
'O.+6`&
y-w2O]
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， `ir&]jh.A
@k=cN>ZMc
condition则为初始条件。 g".d"d{
!cq=)xR
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 Vk MinE
^=eq .(>
y'=3x2, y(2)=0.5 W mz q
q+YuVQ-fx
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 E
S#rs="
Ad dGB^7yl
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 %v5)s(Yu
XXa(30 5
对应上述常微分方程式的符号运算式为： iP<k1#k
cvZni#o2)
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') *ZGX-+{
`^v4zWDK
ans= x^3-7.500000000000000 YS]>_
5;X {.2
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 nqZA|-}
uY.=4l
W[@i;f^g
Gs+\D0o!
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') 1*Sr5N[=
1|o$X
ans= atan(x^2+1) 6exRS]BI
CD^CUbGk
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') q^Z~IZ8IT
%oAL
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) Wm<z?.lS
./#e1m?.
,5/V@; i
u K'<xM"%T
2．4非线性方程式的实根 "kX`FaAhY
HV ;;
要求任一方程式的根有三步骤： 92!JKZe
Q(lku"U'
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， Ee&h G[sx
+AB6 lv
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 3@& bxY Xm
p ss6Oz8
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 ;_iPm?Y8
([Ebsj
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 9u?(^(.
4 _tR9 w"
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 Kaf>
x Y| yI>
例一、方程式为 fCB:733H
CoJ55TAW
sin(x)=0 xS"$g9o0
p"KU7-BfvC
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： nB=0T`v Q
)7W6-.d
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 U| 8[#@r
F<5n Gx cC
r=3.1416 !6Q `>s]
r:-WzH(Ms
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 3w Z(+<4i
I0DM=V >;
r = 6.2832 \k;U}Te<
/K AlK5<
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： }&1Iyb
P<u"97@8a
>> x=linspace(-2,3); &eIGF1ws
co/7l sW
>> y=humps(x); {DT4mG5
& s:=qQa1
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 B20_ ig:
R*yU<9Mm8
~n6[$WjZA
I_?He'=0oU
8a9RML}G<
.j U Z
"V 3}t4
#XI"@pD
h~w4, T
azo0{`S?
OC_M4{9 /
v)):$s?WB
|) Pi6Y
RZO 5=L9E
f jI #-
>> r=fzero('humps',1.2) H0a - (
fYBH)E
r = 1.2995 ' "'Btxz
^mg*;8e Ga
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 }E; F)=E
S$e Dnw~$
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： D Ze}y^F
BDe]18X
% m-function, f_1.m 'L {p,
tWY2o3 j
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 M$A#I51
HM&1y ubh#
y=x.^3-2*x-5; -(>qu.[8=
=-~;OH /
>> x=linspace(-2,3); aI (>]sWJ
e7xj_QH
>> y=f_1(x); ni6r{eSQ
rGlRAn#?,
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 t)N;'v &
k=/eM$":
4DLq}v
-[R!O'N9
nxaT.uF d1
>fzwFNdo
1$ML #5+,
`.=sTp2rbc
_8><| 3d
n#*`!#
t`G)b&3_O
5]"SGP
&Y7C0v
47UO*oLS
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 + a|/l
e *]r
r = 2.0946 &Un6ay
~p*1 :ij
>> p=[1 0 -2 -5] z^W$%G
},c,30V'
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 O8|* M "
C+%K6/J(
r = [s`
G^
0{) $SY
2.0946 v-`h>J!Nx
7@~tVxB;
-1.0473 + 1.1359i &mE?y%
.Q>!B?)
-1.0473 - 1.1359i ]Kde t"+
Vq ^]s $'
2．5线性代数方程（组）求解 :reTJQwr
vR> o}%`
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 v6uxxsI>Hm
)1F< 6R
AX=B h`5)2n+ P
I*\ ^,ow
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 Bct"X#W|&
uQe u4$k!
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 QH@>icAb
$'"8QOnJ?k
如果将原方程式改写成 XA=B *'ZN:5%H
o-eKAkh
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 Hl7:*] l7b
[-w@.^:]X
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 V#83 !
ftZj}|R!
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 .T.5TMiOSq
NZXjE$<Vr
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： Gs V4ZZ
<@, $hso7:
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 7} B
i$U Qbd
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 UAYd? r
c-CYdi@
>> X=A\B % 先以左除运算求解 ;D2E_!N
dt
WDx
Mo` zT
X = % 注意X为行向量 '2^
Yw
?IY Y'fS"
-2 B 0) ]s<<
p25Fn`}H
5 Tb hH&kG)1
c^.l 2Q!
6 LSd*| 3E}n
p1O6+ hRio
>> C=A*X % 验算解是否正确 ? S#\K^
]=&L _(34
C = % C=B g-)mav
0[a}n6X Tk
10 Utt>H@t[
;vp\YIeX1
5 K"{HseN{
}e{ qW
-1 ]~c+'E`
XZph%j0o
>> A=A'; % 将A先做转置 d?L\pN&
=@ r--E
>> B=[10 5 -1]; s#-eN )1R
8X7{vN_3K
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 Hi,t@! !
d'HOpJE
X = % 注意X为列向量 (M t5 P
d@kc[WLD^
10 5 -1 ,4@|1z{bfm
N:BL=} V
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
