2．1微分 Z#%4QIz ?
v~9PS2
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： V\Cu|m&HI
Syo 1Dq6z.
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 |s +y]3-_
AKej Wh
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 skf7Si0z
7jvf:#\LtL
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 >XM-xK-=
kO+Y5z6=
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 \GEFhM4)
\IQf |
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 h:}oUr8
r1}YN<+,s
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： "l"zbW WOH
$<OX\f%
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; $_o nSYWr
W c {<DE?J
>>S2 = 'sin(a)'; 5(]=?$$*t
l q~^&\_#
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; g:7S/L0]
eF823cH2x_
>>diff(S1) f![?og)I%
xrs?"]M[
ans=18*x^2-8*x+b IVjH.BzH9
40w,: $
>>diff(S1,2) . K s%ar
d,tGW
ans= 36*x-8 p8aGM-+40W
)v
!GiZ" 7
>>diff(S1,'b') 9w9[0BX#
ph
qx<N@
ans= x &Op_!] 8`U
U-&dn%Sq
>>diff(S2) 6vAq&Y{JB'
0K <y
}
ans= aAhXHsZ|26
d}2tqPy a
cos(a) z~\ a]MB
^cs:S-s
>>diff(S3) ~)xg7\k
[#hpWNez(>
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 ux`)jOQ`Y]
ce7$r*@!
>>simplify(diff(S3)) A/ZZ[B-
R9 @Dd
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 C,r[ H5G#
7)SG#|v[$
2．2积分
ieo Naq
ur7 sf$
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 5tfD*j n
Xo[j*<=0
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： z=%&?V
R!{ ^qHb
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 6Y9F U
Lu?MRF
f
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 Kcf1$`F24
mUSrC U_}
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 uy'm2
@pq2Z^SQ H
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 y.vYT{^
$]LhE:!G
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 +5~5BZP
t 7#lRp&
我们示范几个例子： NN> E1d=
@ByD=
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 3lr9n BR
}\
kLh(
>>S2 = 'sin(a)'; 0APh=Alq
^V6cx2M
>>S3 = 'sqrt(x)'; ?|,dHqh{nM
W3Gg<!*Uo
>>int(S1) / Q]6"nY
q~:H>;:G-
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x *ay&&S*
0SS,fs <w3
>>int(S2) 9d kuvk}:
=f~8"j
ans= -cos(a) ]cQYSN7!SY
AUk -[i
>>int(S3) A$ 2 A YQ
xD.Uh}:J
ans= 2/3*x^(3/2) ;@ <E
/6fa
7;
>>int(S3,'a','b') WzinEo{ f
S jb[v
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) !V.2~V[^M
?58,Ja
>>int(S3,0.5,0.6) )\aCeY8o
qe/dWJBa
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) [d d KC)tA
wmV7g7t6
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 , B90r7K:
|-)2 D=P
ans= 0.0741 CU`yi.)T{
;bYS#Bid{V
2．3求解常微分方程式 n3z]&J5fr
) t#>fnN
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， t GS>f>i
~SzHIVj:6
condition则为初始条件。 ioW&0?,Ym
Yq~$p Vgf
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 =# /BCL7
6 M c&gnN
y'=3x2, y(2)=0.5 pLdZB9oD]C
{D{'
\]+
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 QH5[}z s8
x&
a<u@[wa
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 8el\M/ u{
HuI?kLfj\
对应上述常微分方程式的符号运算式为： pLiGky
eo [eN.
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') Dve+ #H6N
'} 5Yc,
ans= x^3-7.500000000000000 Hd_ W5R
S"<"e\\}"_
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 O3JBS^;V2
"/k TEp
b #
|
.P:mY C
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') zz m[sX}
Gnthz 0\]{
ans= atan(x^2+1) }!_o fe
WU +OS(
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') aj`_* T "A
o4t6NDa
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) ix+sT|>
^[g7B"`K5
U (6=;+q
%AJTU3=0
2．4非线性方程式的实根 Ri<'apl
(#K u`
要求任一方程式的根有三步骤： y# iQ
9Hm>@dBhM
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， #I9hKS{
s&)>gE\
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 =\FV_4)
MJ _ ]N+
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 igO,Ge8}
^ rh{
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 g4 f:K=5:
GwM(E^AG
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 |r<#>~*
-d)+G%{
例一、方程式为 kn9e7OO# #
hd N[wC]
sin(x)=0 6 k+4R<
&c f(}
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： nXJG4$G
Bm$( 4
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 iOrpr,@
YwaWhBCIF
r=3.1416 ~cH3RFV
Q:^.Qs"IK
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 Vo`,|3 ^
J e"~/ +
r = 6.2832 U'p-Ko#
kNk$[Yfs
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： COc
t d
nvbKW.[<f{
>> x=linspace(-2,3); ]AB'POa
&xLCq&j 1
>> y=humps(x); zPc kM)
rv <_'yj
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 fWs @ZCt
kK~, ? l
N 9cCfB\`
|))O3]-
05 o vz
YT~h1 <se
g > pvcf(
bmQ -5SE
b <z)4
O6"S=o&
d:8c}t2X
`'G1"CX
yvIzgwN%s!
n ^iq?u
u3vM !
>> r=fzero('humps',1.2) 1LVO0lT
d;hv_h
r = 1.2995 . D{He9
0Zh]n;S3m
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 D~b _nFD
A-f, &TO
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： Fk#$@ ^c@
e#odr{2#4u
% m-function, f_1.m 2bu > j1h
8/s?Gz
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 ;~-M$a
}4
C K9FAuU
y=x.^3-2*x-5; "[dfb#0z`
BcxALRWE
>> x=linspace(-2,3); VRB !u420
B'&QLO|
>> y=f_1(x); H b?0?^ #
<j}A=SDZ)
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 KBa ]s q_
CB^.N>'
2D2}
*);eW
):lH
;6M [d
.$] -::&
fj97_Q=
W1_.wN$,5
1ne3CA=
hQ ( 84u
.'PS L
CUnBi? Mi
G@zJf)u}
U:0Ma 6<
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 g.pR4M f=Z
2 b
K1.BD
r = 2.0946 PiN^ /#D
*Wf Qi8
>> p=[1 0 -2 -5] rXR!jZ.hi
?$#P
=VK
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 Y94S!TbB
GH \
Sy
r = 8 .:WMH`
a"&cm'\lL
2.0946 .(99f#2M:
]0XlI;ah
-1.0473 + 1.1359i :gn&wi
[\qclW;L
-1.0473 - 1.1359i tb4^+&.GS
e jc>
2．5线性代数方程（组）求解 HR ;I}J 9
wJC F"e
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 !/e*v>3u&
sC A
AX=B Xe&p.v
*-*SCA`E^=
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 us E%e F]
On|b-
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 4]#$YehM5
>a&IFi,j
如果将原方程式改写成 XA=B
C TKeY
6Yl+IP];i
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 { is L<
XZ@ |(_Z
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 &M: o(T
zdm2`D;~p
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 S= j
pn
_+.JTk
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： /+1(,S
n,d)Wwe_`y
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 '50}QY_R.
]tzF
Ob
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 c]n"1YNm
74 &q2g{
>> X=A\B % 先以左除运算求解 q[GD K^-g
J;=T"C&
X = % 注意X为行向量 \!x CmQ
)KEW`BC5T
-2 q}!h(-y}5n
B$n 1 k 45
5 )N*Jc @Y@
|s;']
6 :yRv:`r3Lt
oKCv$>Y
>> C=A*X % 验算解是否正确 \2]_NU5.
ITg<u?z_
C = % C=B 0 ?}n( f!S
NWP!V@WG
10 B%tWi
I]DD 5l}\
5 }8PO m#
~>HzAo9e
-1 y/5GY,z%aL
s <rV1D
>> A=A'; % 将A先做转置 TkJ[N4'0
gq"d$Xh$x7
>> B=[10 5 -1]; x H&hs$=
YM};85 K
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 |-)8=QDz)r
! Lz A
X = % 注意X为列向量 !=A;? Kdq
ZPyzx\6\
10 5 -1 kY @(-
.r2*tB).
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
