2．1微分 O_;BZzT
;
$rQ
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： c~U0&V_`j
w> 2lG3H<
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 4 $R!)
ZFLmD|q#{
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 M@TG7M7Os
[ bnu
DS
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 ~DD
_n
~m=GS[=
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 HwFg;r
5.^pD9 [mT
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 [h-6;.e
+ nR("Il
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： a[ hF2/*
:=Zd)i)3
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; P8c_GEna
XEiVs\) G
>>S2 = 'sin(a)'; uL)MbM]
[6TI_U ~
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; tEL;,1
PSc=k0D
>>diff(S1) 6 :4GI
4PVg?
ans=18*x^2-8*x+b $2Wk#F2c=
lH3.q4D
5
>>diff(S1,2) D:9^^uVp
4&NB xe
ans= 36*x-8 Mg\588cI
KJFQ)#SW!
>>diff(S1,'b') !po,Z&
S+06pj4Ie
ans= x W,~*pyLdO
I0 Do%
>>diff(S2) L~ax`i1 :"
k
Fl* Im
ans= 4 AhF E@
$MasYi
cos(a) <vl(a*4a
^:?z7m
>>diff(S3) Ak W,Fp1e
Y<;C>Rs
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 F-@y H
8T Yh&n=r
>>simplify(diff(S3)) .:H'9QJg
tgBA(2/Co
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 [%>*P~6nK
5S? "<+J '
2．2积分
!& c%!*
CH+%q+I
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 zpT{! V
1%M^MT%&
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： Yaq0mef0
gs2qLb
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 <=uO*s>%
S ?t
`/"O
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 ] Q^8
9?
R&s/s`pLW
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 6Hc25NuQZ
3znhpHO)
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 &[\zs&[@y
_6FDuCVD-
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 Bptt"
w}}+8mk[
我们示范几个例子： 9F,XjPK=
j5Yli6r?3-
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; JF &$'
RW>F %P
>>S2 = 'sin(a)'; PmId #2f
;F_&h#D]3
>>S3 = 'sqrt(x)'; }J 5iY0
z"5e3w
>>int(S1) ,[m4+6G5
?Wt_Obl
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x -NG9?sI\U
dkEnc
>>int(S2) AF{o=@
Zf u" 8fX
ans= -cos(a) VyU!r*
o
! oV'
>>int(S3) bVRxGn @l
/9y'UKl7[
ans= 2/3*x^(3/2) RkdAzv!Y7
/7*qa G
>>int(S3,'a','b') lSId<v?C>
d\z':d .Tt
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) *7Sg8\wDn
BcGQpv &x
>>int(S3,0.5,0.6) ]*S _fme
,@gDY9Q3r/
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) /=OSGIJzm
of<>M4/g4y
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 N~arxe (K
r52,f%nlm
ans= 0.0741 $PbN=@
QQjMC'
2．3求解常微分方程式 OaxE3bDT
( Gxv ?\
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， ,v1-y
?kB
EZiGi[t7
condition则为初始条件。 .yj=*N.
o9HDxS$~^
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 NU/~E"^I.
aEZn6k1
y'=3x2, y(2)=0.5 e;}5~dSi
]i]s gg[
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 Mz{ Rh+gS
Zr 2QeLQC(
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 zck |jhJ6
;/{Q4X{
对应上述常微分方程式的符号运算式为： R}+/jh2O|
)@`w^\E_~_
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') XWy
iS\
|V~P6o(/
ans= x^3-7.500000000000000 &FvN z
8QZk0O
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 "AVj]jR
1aMBCh<}JN
yZ)ScB ^
RBgkC+2
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') 5B CaE)J
J2[QHr&tn
ans= atan(x^2+1) +[ }]a3)
.y2<2eW
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') hJ4.:
>a-+7{};
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) ez5 `B$$
hA\8&pI;
Oc'z?6axWv
K+$c,1wb
2．4非线性方程式的实根 g4$%)0x%
+@qk=]3 a
要求任一方程式的根有三步骤： A0 X 0t
< 5_Ys
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， M2EN(Y_k0
`U1%d7[vY
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 f8^58]wx0
d =KOV;~);
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 n)7icSc
/[IQ:' :^
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 xR&,QrjQG
KE&}*Nf[
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 7~Ga>BK
;Gs**BB&
例一、方程式为
J3.Q8f
4vQHr!$Ep
sin(x)=0 E\*", MGL
9c7 }-Go
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： 8W[]#~77b
l >(G3l Iw
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 "qm> z@K
$B?7u@>,
r=3.1416 >C}RZdO~
N]<gHGj}
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 c k~xj0
` j<tI6[e
r = 6.2832 S+y2eP G
,;-*q}U
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： U[D <%7f
Yc V ~S# b
>> x=linspace(-2,3); LI<5;oE;
.am*d|&+G
>> y=humps(x); fx-*')
5l}h8So 4
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 bN&da
[K
MX0B$yc$
7:<Ed"rdE
U}0/V
c26
zNf5OItx
cj<@~[uw
T_Y }1n|7[
x +e
_pb
UVJ(iNK"
X8x>oV;8
lp U tNy
%p60p n[(
~`E4E
o ?FUVK
wcf_5T
>> r=fzero('humps',1.2) Evm mQ
}aM`Jp-O
r = 1.2995 m_ m@>}ud
}AqD0Qd2Hj
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 <pUou
#Vigu,zY
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： }2,#[m M
^b %8_?2m
% m-function, f_1.m hY 2PV7"[;
& }}WP:U
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 I7^X;Q
F
+yH~G9u(
y=x.^3-2*x-5; vqi$}=%n?W
o~&!M_ED
>> x=linspace(-2,3); am+mXb
XSjelA?
>> y=f_1(x); ~ J{[]wi
S5KYZ
W
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 !F#aodM1N
A]%t0>EL<
Ef!p:HBJ
TF-Ty
'a^tL[rLP1
8 G] m7Z
,D2_Z]
B~z g"
cCGXB|9fYR
*;E+9^ :V
@[lc0_ b
]NV ]@*`tO
+JS/Z5dl+}
xcvr D
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 /JubiL EK
3,L3C9V'
r = 2.0946 .]s( c !{y
1 3 `0d
>> p=[1 0 -2 -5] 0(/D|
{V% O4/
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 )z235}P
OrEuQ-,i@
r = RrdtU7i3
g+ 1=5g
2.0946 TT ZxkK
7Ljj#!`lUp
-1.0473 + 1.1359i 'R d*X6dv
# 3 yw
-1.0473 - 1.1359i Vy^yV|`v
L\wpS1L(
2．5线性代数方程（组）求解 oX lxPN3 9
vd7N&c9
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 L@n6N|[_
h<' 5q&y
AX=B Vm ;Q w
27E9N O =
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 t_>bTcsU
tK|9q s<%
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 ' q<EZ {
$W {yK+N
如果将原方程式改写成 XA=B 3 E!<p
Jhsv2,8
{
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 j H.Ju|nO
c\)&yGE
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 p=_XMh`;
"vOfAo]`
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 s |gD
(ND5CKCR^
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： Zp (=[n5
A`
o?+2s_
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 Z#F,y )YiO
(!VMnLlXRK
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 _h1 HuL
..]*Ao 2
>> X=A\B % 先以左除运算求解 A!ioji+{[
lQdnL.w$.4
X = % 注意X为行向量 uqa4&2(I=j
O[(?.9
-2 50`iCD
O J35En
5 sArje(5Eo
C '-zh\a
6 ?{"XrQw
XatA8(_,5
>> C=A*X % 验算解是否正确 )pjjW"C+
,yk PQz O
C = % C=B 'n^2|"$sH
Z(Eke
10 nxyjL)!)0
%wt2F-u
5 ` y^zM/Ib
){+ [$@9
-1 G pdv]SON{
c{mKra
>> A=A'; % 将A先做转置 2#AeN6\@
\6SMn6a4
>> B=[10 5 -1]; ,pyQP^u-
NV} RRs
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 ~5r=FF6
?{
B[^
X = % 注意X为列向量
w.J%qWJq
!Tn0M;
10 5 -1 DO&+=o`"
HQ^9 [HN.
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
