2．1微分 YPmgR]=6
P~@.(hed
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： t}fU 2Yb
f}:W1&LhI?
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 qM9> x:V
n_ S)9C'=
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 osPrr QoH
/9<62F@zJ"
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 G]E-2 _t7
Uq=!>C8
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 a+e8<fM yT
BE,H`G #h
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 K&;;{~md.
3.V-r59
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： L=)Arj@q
tS
sDW!!M
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; b\^9::oY
(k<__W c_t
>>S2 = 'sin(a)'; ,7^,\ ,-m
:M \3.7q
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; 4L/8Hj#g
Na>?1F"KHk
>>diff(S1) 5tcJ T z
i1-wzI
ans=18*x^2-8*x+b l ^4!
o WcBQ|
>>diff(S1,2) ]7
2wv#-
)kt,E}609
ans= 36*x-8 O_|p{65
nhI1`l&
>>diff(S1,'b') :'K %&e?7s
)jm u*D5N
ans= x & /{x7;e
(7?jjH^4
>>diff(S2) h G
qZB
[a\>"I\[
ans= +Hf Zs"x
yUlYf#`H
cos(a) gs9VCaIa
;ei qzdP
>>diff(S3) vw/X
U
Y')|2y
5
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 XZ1WY(
p<AzpkU,A
>>simplify(diff(S3)) XE.Y?{,R$
"bk'#?9
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 } @NT#hD
` '}c-
Q
2．2积分 jjU("b=
$+Zj)V(
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 *pKj6x
RMO6k bfP
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： 2:Rxyg@'
[XDr-5Dm
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 s5D<c'-
E@D}Sqt
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 ;sfk @e c
h ;Se.{
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 H/BU2s a
4Q5 c'
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 Sp^jC
Xu
6n5>{X
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 ;O Y*`(Id
I iRII)
我们示范几个例子： `o,D[Jd
p@bcf5'
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; $ H2H VJ
.~ yz1^ c
>>S2 = 'sin(a)'; _M9-n
{5N!udLDr5
>>S3 = 'sqrt(x)'; TWk1`1|
/ng +IC3
>>int(S1) PTFe>~vr*
Fu6~8uDV{{
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x yHt
`kb2
.*+KQ A8
>>int(S2) X'KkIo
:
}ikJ a
ans= -cos(a) K3($,aB}
a54qv^IS
>>int(S3) o,;Hb4Eu
s0bWg$
ans= 2/3*x^(3/2)
|jwN 8@
- L)b ;0%
>>int(S3,'a','b') Nq=r404
A3=$I&!%
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) qH-':|h7
Bk9 ? =
>>int(S3,0.5,0.6) .<|.nK` 6
r7=r~3)
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) __N#Y/e ]
u"*Wo'3I|
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 % HK \
,}hJ )
ans= 0.0741 U)g2 7*7
7) y9% -}
2．3求解常微分方程式 _6 ,T b]
8 wQ|Ep\
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， ON~K( O2g(
#Z.2g].
condition则为初始条件。 ,F)9{ <r]
_[_mmf1;:'
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 A]k-bX= s
aE'nW@YL.
y'=3x2, y(2)=0.5 6xsB#v*
%x G3z7;
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 y@? t[A#v
d#*n@@V4
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 KqH_?r`
RN"O/b}qQ
对应上述常微分方程式的符号运算式为： D D]e0 pa
L1i:hgq0]
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') "X7;^yY
KnjowK
ans= x^3-7.500000000000000 Xzp!X({
ca{u"n
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 Z<,$Xv L
#^FDFl
K
V-}:u(
mm,be.
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') &bO5+[
^KeJ=VT
ans= atan(x^2+1) ueM[&:g&MU
I3wv6xZ2
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') #~Z55 D_
c>(`X@KL
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) ^bj aa
q0l=S+0
f;w7YO+$p9
>P/Nb]C
2．4非线性方程式的实根 &S8Pnb)d
10 D6fkjf
要求任一方程式的根有三步骤： Fu%%:3_
AK b rXKx
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， UJWkG ^?
=h<LlI^v
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 P e\AH
c-a he;q
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 L
=kc^dU
nb GB84
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 wf=
s-C
d,R
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 z+Cw*v\Y
CfWtCA
例一、方程式为 O&Ws*k
y[ W<vb+F
sin(x)=0 tL;!!vg#V
EM.7,;|N
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： ,> ^6ztM
u6,NQ^4
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 }c"1;C&{
(np %urx!
r=3.1416 FccT@ ,.F
@vC7j>*4B
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 Q^iE, _Zq
p. .O;_ U
r = 6.2832 },d`<^~
l^ @!,Z
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： )tRqt9Th*
c:R`]4o
>> x=linspace(-2,3); pnvHh0ck_
99\;jz7
>> y=humps(x); 0x-58i0
Zy>iaG9}
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 QB Nnvg4v
:a 5#yh
9 NO^ '
&7{/ x~S{
4 r&S&^
x*EzX4$x
$8{|25
*E
d=TZaVL$$
Zj*kHjn"
RcASFBNpS
cPemrNxydN
RW!_Zz Z
gm-I)z!tz
g `)5g5
[F^qa/vJ10
>> r=fzero('humps',1.2) C;T:'Uws
$yl Q \Y'
r = 1.2995 j &#A 9!
98%M`WY
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 1;\A./FVv
b)SU8z!NV&
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： rc*iL
D*>EWlZ
% m-function, f_1.m aX oD{zA
Q Eh_2
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 ?y] q\>
T,Bu5:@#
y=x.^3-2*x-5; C)7 T'[
8>E_bx C
>> x=linspace(-2,3); e~#"#?
&
*^FBJEa.
>> y=f_1(x); sG/mmZHYzr
"5KJ /7q!
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 ];-DqK'
Y: ~A-_
o)X(;o
8sDbvVh1F
fkprTk^#
n~1'M /wh
K/2k/\Jk[_
{*=+g>R gD
\(nb
>K
h6 *&1r
hmA$gR_
?e`4
s f_~
)yV|vn
%:v59:i}
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 hPC t-
N= >6PLie
r = 2.0946 6m.ChlO/
g> lJZD@
>> p=[1 0 -2 -5] 4Y):d!'b
X{n7)kgL
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 )HrFWI'Y
Q}KNtNCpx
r = E%eTjvvxus
tQS j[Yl
2.0946 F{# m~4O
6.o8vC/PZ
-1.0473 + 1.1359i Zz" b&`K
z7[TgL7
-1.0473 - 1.1359i E<[ _L!2
*]ROUk@K=
2．5线性代数方程（组）求解 _RLx;Tn)L
>^1|Mg/!>
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 1v)X]nW
i6" /GSA
AX=B ]=s!cfu
/5:f[-\s
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 6^W6As0
"(@W^q F}d
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 h'i8o>7
\hjGw,d
如果将原方程式改写成 XA=B .Z,3:3,]
' bH',X8gF
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 |G2hm8
Y
\5+?wpH
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 _xg4;W6M=
i\P?Y(-{
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 hjuzVOE|W
R^%uEP
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： Qfhhceb6#J
Gj[+{
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 '%W'HqVcG1
;z6 Gk&?
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 Wvhg:vup
u9WQ0.
>> X=A\B % 先以左除运算求解 Qg)=4(<Hr
4T*RJ3Fz!
X = % 注意X为行向量 KY)r kfo B
b&LfL$
-2 o8 A]vaa
-qki^!Y?
5 8>: kv:MId
-rU~
6 N=qe*Rlf
O"otzla
>> C=A*X % 验算解是否正确 s]=s2.=
~<M/<%o2*
C = % C=B N4 O'{
"J0,SFu :
10 6 E9y[ %+
GCxtW FXH
5 IAr
jL$&]sQ`O)
-1 tK<GU.+
V\ ud4
>> A=A'; % 将A先做转置 RU>Hr5ebo
L lP
>> B=[10 5 -1]; a:C'N 4K
$#4J^(I*:
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 f%LzWXA
u-W6 hZ$
X = % 注意X为列向量 ,`7;S,f
Onr#p4U T
10 5 -1 nZF(92v
zE{@'
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
