2．1微分 !?#B*JGFS
)O;6S$z9Y
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： Y HSdaocp
qT5q3 A(8
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 z10J8Ms'
ps[ HvV"
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 Z8I Y!d
# 3UrGom
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 Dc-v`jZ@)
KW`^uoY$
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 @{n"/6t
e98f+,E/
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 b\^X1eo
J[ ; g
\
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： }w&W\g+E$
1u>[0<U~E
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; %dn!$ [D@
r 9sq3z|%
>>S2 = 'sin(a)'; GO4IAUA
lrQNl^K }=
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; lZ gX{
)seeBm-`
>>diff(S1) [/E|n[Bx
>L4q>S^v
ans=18*x^2-8*x+b ]WF r5
'rl?'~={p
>>diff(S1,2) Q 8|
C>$n
BLaF++Fop
ans= 36*x-8 f(S 9>c2
D`hl}
>>diff(S1,'b') yr vV<}
*3@ =XY7
ans= x r_>]yp
7up~8e$ _
>>diff(S2) z\7-v<ZS
G'# Uzwo
ans= pgUp1goAU
:Eb=jWA
cos(a) H^ds<I<)
nz2`YyR
>>diff(S3) +,c]FAx4
/0m0""
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 yRAfIB$T}"
CXiDe)|<E
>>simplify(diff(S3)) [b :0j-
)gVz?-u+D
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 &TT vX% T
WBN3:Y7
2．2积分 nixIKOnjC
M!R=&a=Z
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 |1%eo.
L_`D
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： L/ g8@G
;
slnvrel
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 w<LV5w+
y0] "qB
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 N(J'h$E
#J'V,_ wH
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 ]xxE_B7
U6?3 z
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 A$3ll| %j
]bP1gV(b-
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 w ,*#z
.QW@rV:T
我们示范几个例子： {ui{Y c
qDS~|<Y5
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; A'aY H`j
1lYQR`Uh
>>S2 = 'sin(a)'; P"{yV?CNg
3~%M4(
>>S3 = 'sqrt(x)'; ku)/
8Z`$
zDf96eK
>>int(S1) C1==a FD
MX"M2>" pT
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x m1D,#=C,_
ThY\K>@]
>>int(S2) )YVs =0j
Q k2*=B Vh
ans= -cos(a) d(YAH@
*X!+wK-+
>>int(S3) .npD<*
&})Zqc3Lqk
ans= 2/3*x^(3/2) *P\OP'o_
%O9P|04]3
>>int(S3,'a','b') /%F 5u}eW
j 9/hZqo
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) pS "A{k)i
W 'PW;.,
>>int(S3,0.5,0.6) [:/mjO K
qN'%q+ n
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) gm$<U9L\v
+^q- v-
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 *QT7\ht 3
8iPA^b|sz{
ans= 0.0741 %_(^BZd
q }]z8 L
2．3求解常微分方程式 JSoInR1E
)_k U,RvZ
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， !jg<
S >S5
IN@ =UAc&
condition则为初始条件。 XzW\p8D^u
%<>|cO
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 &x3R+(H {
"`V:4uz
y'=3x2, y(2)=0.5 ?NxaJ^
%~\I*v04
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 6RfS _
CN6b 982&
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 V8 G.KA "
g6h=Q3@
对应上述常微分方程式的符号运算式为： f9HoQDFsM
#.2} t0*]5
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') !]MGIh#u
;vUw_M{P=)
ans= x^3-7.500000000000000 n],"!>=+
${tBu# $-d
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 /BrbP7
UAds$ 9
VO<P9g$UD
_o-01gu.
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') vv D515i
A<-3u
ans= atan(x^2+1) ^ x_+ &
>Ft:&N9L{
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') $*7A G
'kekJ.wJ;
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) 8p]Krs :
}q)dXFL=I#
#VuiY
qSQsY:]j0
2．4非线性方程式的实根 5r^ u7k
7Pr5`#x#
要求任一方程式的根有三步骤： w"!zLB&9[
(X|lK.W y
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， qbo
W<W<H1
30QQnMH3
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 2*Mu" v ,
N
lB%Qu
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 wTn"
mam(h{f$
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 - P'c0I9z
KRh?{
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 {&h=
Gx-tPW}
例一、方程式为 ;CA7\&L>
I z)~h>-F
sin(x)=0 ?Q: KW
bAL!l\&2
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： /pz(s +4=
]ChN]>o
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 CQ#%v%
tSq`_[@
r=3.1416 D?P 1\<A ~
zqb3<WP"
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 -;t]e6[
6E.64+P Jw
r = 6.2832 5OX5\ #Ux
ysQ8==`38i
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： ^BQ* l5K
S.NLxb/
>> x=linspace(-2,3); .8Gmy07
\"mL LnK?
>> y=humps(x); !J+< M~o}
~f] I0FK
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 e[J0+
x#;r
3,{tGNl|
q/t~`pH3
A[X~:p.^G
\ B
D' "
YGr^uTQb
<@:LONe<
I)F3sS45}
j!QP>AM|`
1|%C66f^
]0)=0pc]E
3}X; WE `
yX;v
B$%7U><'
0Xw3h^%
>> r=fzero('humps',1.2) r2
o-/$
GHo=)NTjy
r = 1.2995 `) s>},8W!
=H2.1 :'
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 Kly`V]XE
0YVkq?1x9
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： e{33%5
IMay`us]:8
% m-function, f_1.m / =2
N5:muh
\
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 v d' d@T
e6WKZ~
v o
y=x.^3-2*x-5; J|2OmbJ e
^gD%#3>X
>> x=linspace(-2,3); f6Io|CZWJ
T'nQj<dBt:
>> y=f_1(x); +yd(t}H@
|,Xrt8O/[
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 pn6!QpV5
W g2Y`2@t
*R^u lp[W
GP\Pk/E
79 ZBVe(}
)R`w{ V
*Pj W,
kM
T73OI>_
$!_]mz6*
30v 3C7o=
-5 Yv tL
T7{Z0-
<H)I06];
@fWmz,Ngl
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 dT9!gNvQ
|Skk1 #
r = 2.0946 a}+7MEUmZ/
UldG0+1d
>> p=[1 0 -2 -5] &[hq ! v
R~],5_|
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 duKR;5:
t3)nG8>
)
r = '<C I^5^
.V?i 3
2.0946 {^xp?zpV
t$z
FsFTQ
-1.0473 + 1.1359i 1cyX9X
r>hkm 53
-1.0473 - 1.1359i #Pz},!7
,afh]#
2．5线性代数方程（组）求解 3P!Jw7e
@i9T),@
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 Jk) ^6
j 6~#_t[
AX=B /?jAG3"
P!{
O<P
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 /2 & jId
3JiDi
X"|
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 zhDmZ
1CiK&fQ'
如果将原方程式改写成 XA=B (N U*PQY6
$^Dx4:k<2
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 c8sY#I
8}0W_C U,
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 vmW4 3K;
7B$iM ,}.b
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 E lt=/,v`!
>Rw [ x
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： kne{Tp
d FF [2
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 h'x|yy]@3
P+sxlf:0
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 +'H_sMmi{
ldo7 }<s
>> X=A\B % 先以左除运算求解 H[gu J)4#@
A+T! DnVof
X = % 注意X为行向量 N9D<wAK##)
|Ebwl] X2
-2 Yw=Ve 0
kmM1)- v
5 m9UI 3fBX
zxtx~XO
6 = uZ[
m<wng2`NTv
>> C=A*X % 验算解是否正确 31LXzQvFG
qWf7k+7G
C = % C=B [0D( PV(n
L oLmT7
10 bE2^sx`(
kScq#<Y&
5 AHP_B&s,Qe
maLKUSgo
-1 ZD] ^Y}
KAm v7
>> A=A'; % 将A先做转置 iK6L\ 'k
V+X>t7.Q
>> B=[10 5 -1]; D;It0 "
'H2TwSbIXI
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 ^ c}Z$V
RF
4u\ \
X = % 注意X为列向量 ^W P`;e
F_=RY ]
10 5 -1 o~,dkV
RV5 X 0
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
