2．1微分 dX5|A_Ex
z+6%Ya&ls
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： -[.A6W
?<-ins
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 +K03yp hZr
g\foBK:GE
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 Yq0=4#_
d3K-|
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 Ve^rzGU
c9)5G+
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 6pY<,7t0
YR}By;Bq
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 5RhP^:i@C
< .B^\X$
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： JLH,: 2
,?zOJ,wl
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ZMI
vzQYI
<< .%Gk
>>S2 = 'sin(a)'; ~7Jj\@68
[*AWCV
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; g?d*cwtU
;(,1p i7|
>>diff(S1) #Do#e
{=+
* oU-V#
ans=18*x^2-8*x+b p$*;> YKO
k=):>}
>>diff(S1,2) Y;6%pm $
#Bgq]6G2
ans= 36*x-8 hpO Uz%
hCKx%&[^7
>>diff(S1,'b') hXx.
' 5%`[&
ans= x W:z!fh-
cPm- )/E)i
>>diff(S2) njN]0l{p
#-Ad0/
ans= v9R"dc]0h
DR w;.it2
cos(a) 37QX ML
jwd {CN%
>>diff(S3) xRU ~h Q
~M4@hG!
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 bxA1fA;
,Y3wXmG
>>simplify(diff(S3)) ie% _-
Jf{
M[ z
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 +|=5zWI /
SS/t8Y4W
2．2积分 9 x40
\<R .F
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 3Ta<7tEM
t[- 0/-4
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： ,@'M'S
p>@S61
&
[
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 OnKPD=<
q4rDAQyPO
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 5Si\hk:o
U.B= %S
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 G]- wN7G
A->y#KQ
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 5h4E>LB.B
L!]~ J?)
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 2!4.L& Ki
> \KVg(?D
我们示范几个例子： X;?Z_3I:5
fx783
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Mn=5yU
&P Agab2$
>>S2 = 'sin(a)'; ?9 8]\pI
!dW77kLTg
>>S3 = 'sqrt(x)'; X0 .-q%5
3koXM_4_{)
>>int(S1) *!gj$GK@%
l< y9ue=
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x U|% y `PZ
{vJ)!'Eh
>>int(S2) DB>Y#2j4h
u8wZ2 j4S
ans= -cos(a) /@H2m\vBX
!^|%Z
>>int(S3) weOzs]uc
z]YP
ans= 2/3*x^(3/2) Gkr^uXNg#
Q l$t
>>int(S3,'a','b') Pj!{j)-tS
j bHk
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) N &0 MA
QxGQF|
>>int(S3,0.5,0.6) |
3`qT#p{
m7 XJe[O
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) ;
-RhI_
3P onF4
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 wnE
c
P'Fy,fNg
ans= 0.0741 e<> Lr
>t"]gQHtx
2．3求解常微分方程式 p.2>- L
LaE;{ jY
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， id-VoHd K
/ -=(51}E
condition则为初始条件。 Z w5\{Z 0
n(Up?_
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 sK:,c5^
)Q\ZYCPOr
y'=3x2, y(2)=0.5 <(JsB'TK
gKZ{ O
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 >EMgP1
I`%=&l[v_5
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 _^RN
C)o l
{z GIQG9
对应上述常微分方程式的符号运算式为： vtFA#})~
g)'tr
'
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') 'D-#,X
C
,h2q 37
ans= x^3-7.500000000000000 tji,by#E/%
@"s\eL,r
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相
hh"0z]
)).;p_nLZ
Kfj*uzKB
AEwb'
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') #{0DpSzE5
(Df<QC`0v
ans= atan(x^2+1) bE>3D#V<
L\og`L)5\
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') yj$S?B Ee
q
rbF@{
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) %:o@IRTRU
T , =ga
A! k}
[6S"iNiyKT
2．4非线性方程式的实根 =X X_C nn
bT-G<h*M
要求任一方程式的根有三步骤： lSyp
k-c
z s"AYxr
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， +>qBK}`
T *t$
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 ~DZ;l/&Mz7
Re1@2a>
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 gSj-~k P
X y*X4JJh^
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 >2syF{`j
TiB E9
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 R~*Y@_oD
Ux icqkX
例一、方程式为 0]oQ08
:=L[kzX
sin(x)=0 pjj
5
MF\n@l X
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： N2 &aU?`e
QrA8 KSLC
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 (+]k{
)N=b<%WD
r=3.1416 jPU# {Wo#
1]>KuXd
r
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 b$R>GQ?#
JNp`@`0V
r = 6.2832 vWkKNB
T4!]^_t^
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： x>8f#B\Mr
<$yer)_J!k
>> x=linspace(-2,3); A[ iP s9
j [U0,]
>> y=humps(x); d7^X P
f,L
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 Y|VzeJC
6$6NVq
aq5<Ks `r
mTP.W#N
'6 'XBL?
5 N/ ]/
hE6tu'
|(P;2q4>
Ro1' L1:
I(<G;ft<}
b/K&8C,c
%x Z.+Ff%
{H+?DMh
n#&RY%#`
QNJG}Upl
>> r=fzero('humps',1.2) -.*\J|S@g
'j 3'n0o
r = 1.2995 Qx,G3m[}
,?d%&3z<a
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 | fI%L9
Ks p;bfe
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： iE Oyc59
*tO<wp&
% m-function, f_1.m ~Op1NE
]Cz16e&=2
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 K`X2N
ZkIQ-;wx
y=x.^3-2*x-5; >ATW/9r
" /'= gE
>> x=linspace(-2,3); YQ)m?=+J
~ /x42|t
>> y=f_1(x); $"FdS,*qKl
;dFe >`~
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 $ vjmW!
O
$ B9=v
Yq^y "rw
~ 9;GD4
JgB# EoF
~?&ijhZ
9>#|~P&FE
|i`@!NrFL
_Nn!SE
[dJ\|=
>" .qFn g
XJzXxhk2
0c5_L6_z
K( d!0S
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 _'7/99]4g}
oS l>%}
r = 2.0946 cMl%)j-
jyGVb no`
>> p=[1 0 -2 -5] t4IJ%#22
x]t i3?w
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 C P#79=1
2jW>uk4/i
r = K*Jty y}r
K8J2eV\
2.0946 88>Uu!M=f
gHx-m2N
-1.0473 + 1.1359i [tzSr=,Cg
!T* B{+|
-1.0473 - 1.1359i ]CZLaID~
#& wgsGV8C
2．5线性代数方程（组）求解 OkZ! ZS
h
X6. O ;
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 ElXe =5L\#
AuTplO0_rE
AX=B MI(i%$R-A
}BJ1#<
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 42CMRGv
nEm7&Gb
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 RC(D=6+[C
ik hX5
&e
如果将原方程式改写成 XA=B &XRFX 5gP
`5-#M/J
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 y.:-
Yd;r8rN
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 ^qx\ e$R
k_n{Mss'9
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 0lCd,a 2:
E ZKz -}
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： #`4^zU)
%-/:p s
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 xD # I&.
f*vk1dS:*3
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 X-$td~r
9yo[T(8
>> X=A\B % 先以左除运算求解 #>jH[Q
:EwA$`/
X = % 注意X为行向量 iFG5%>5F
X&s\_j Q
-2 3c ^=<i
%
s| r7DdI
5 9! HMQ
$D s]\j*
6 ff1B)e
}8 M`2HMFR
>> C=A*X % 验算解是否正确 ]8>UII ,US
MD4 j~q\ g
C = % C=B DG*o
w^
+N$7=oGC
10
Jf<yTAm
$lAb6e$n
5 UUf1T@-
qj"syO
-1 ,XG|oo -
Cn;H@!8<s
>> A=A'; % 将A先做转置 XjZao<?u
jjwM vf.R
>> B=[10 5 -1]; E'S;4B5?
gDNTIOV
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 csX*XiDWm
y?z _^ppj
X = % 注意X为列向量 `V):V4!j),
N"1x]1'
10 5 -1 J=SB/8tQ)T
VgsCwJ9w
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
