2．1微分 @U5gxK*
\l /}` w
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： 7A(4`D J
rmkBp_i{|
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 X0P +[.i
FD
8 Lk
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 eQ/w
Mr
67 Pmnad
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 aXVldt'
&>+T*- '
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 u]Vt>Y wu
]YhQQH1> ]
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 vJ'22)n
aQx6;PC
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： C $+Q,guM
^il$t]X5-
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; hjg1By(
T=42]h
>>S2 = 'sin(a)'; U3:|!CC)T
SEzjc ~ @3
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; dR\yRC]I
~%>i lWaHB
>>diff(S1) v ;
#y^O
' abEY
ans=18*x^2-8*x+b k0V]<#h87
"M
iJM+,
>>diff(S1,2) i&6U5Va,G
unn2I|XH
ans= 36*x-8 8l y)G
7_s+7x =
>>diff(S1,'b') Pa d)|
{z
5YJ*C
ans= x tUUL px.h
UwS7B~
>>diff(S2) =
>TU
u,8)M' UU
ans= 5"57F88Y1
EL3X8H
cos(a) 5Q8 H8!^
o#wly%i ')
>>diff(S3) ZXb{-b?[`
U'" #jT
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 @,sjM]
u=qK_$d4
>>simplify(diff(S3)) FNLS=4
z-gMk@l
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 *Xk5H ,:
}gX hN"
2．2积分 sHBTB6)lx
W3UxFs]$
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 -(
p%+`
3^
UoK
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： BrSvkce
^TZmc{i
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 b?`2LAg n
s&V sK #
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 ZPE-
.E^w, o
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 <\$"U5"`
J'ce?_\?PY
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 ].J;8}
/Q7q2Ne^*
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 diu"Nt
R$l-
7YSt
我们示范几个例子： 7:LEf"vRZ
D%3$"4M7!
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; )s:kQ~+
Ua|iAD 1
>>S2 = 'sin(a)'; |LC"1 k
IYq#|^)5+
>>S3 = 'sqrt(x)'; cOdRb=?9
uZL,%pF3A
>>int(S1) ,_YI:xie|c
Ek `bPQ5
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x D<FQVdP
r3' DXP
>>int(S2) K:< V iz
@ntwdv;
ans= -cos(a) Ag\RLJ.KD
!4+Die X
>>int(S3) XYP
RMa?
KxKZC }4m
ans= 2/3*x^(3/2) j~\FDcG*ed
,sc#l<v
>>int(S3,'a','b') )! rD&l$tE
ws`r\k]3J
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) ~cp=B>*(
nHbi{, 3
>>int(S3,0.5,0.6) (@*|[wN
d!T,fz/-.
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) < Ez@cZ"
a"xRc
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 8i;drvf
N
e{=KdzT
ans= 0.0741 r MJ@oc
v `/nX->
2．3求解常微分方程式 -a_qZ7
\6a' p
Q,
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， 8wd["hga<%
|*J;X<Vm
condition则为初始条件。 1&e8vVN
Q?j '4
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 C[ znUI>
sx+k
V A
y'=3x2, y(2)=0.5 ) C~#W
c%,ky$'18
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 9:RV5Dt
kb~
s, @p
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 9HN &M *}
a>4q"IT6
对应上述常微分方程式的符号运算式为： rusM] Z
2Q(ZW@0
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') rT;l#<#VE
qOpwl*?x+
ans= x^3-7.500000000000000 >#r0k|3J^J
lgVT~v{U`n
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 GB g
fuHNsrNlm
n3V$Xtxw
.
&}x[~g
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') 0# 1~'e
{c?{M.R
ans= atan(x^2+1) o\W>$$EXD
z< A8S=s6n
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') ZI$P Qz2i
B (71I;
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) 9b-4BON{P
%CQa8<q
dQH8s
! Y UT*
2．4非线性方程式的实根 e]!`94f
OBlQ
要求任一方程式的根有三步骤： 2|exY>`w
2X BHo (
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， 4>Ht _B<<
.aWwJZ=[
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 #+" D?
FR50y+h^$
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 h
}&d vd
>3 p8o@:
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 rjfWty%6pX
Yqu/_6wLx
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 ^Bw"+ 6d
H_Hr=_8}-
例一、方程式为 _8`S&[E?
60|m3|0o
sin(x)=0 FDBNKQV
{KTZSs $n
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： t]3:vp5N]
I )% bOK]
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 *6_>/!ywI
XI ><;#
r=3.1416 5D^2
+`$/
gHL:X W^
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 Ttb ?x<)+8
= =KDr 0|G
r = 6.2832 a(-t"OL\
SZxnYVY
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： .ArOZ{lKD>
ij_5=4aZ-
>> x=linspace(-2,3); 0yUn~'+(Sp
9j;!4AJ1t
>> y=humps(x); +r"fv*g"
*m&'6qsS
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 '|% \QWuZ
'OhGSs|
FV OPC:}bj
0eA |Uq~
PGTj Okx
,k:>Z&:
j->5%y
x f:|lQf
KpQ@cc
EUPc+D3
&]KA%Db2
)DQcf]I
R C!~eJG!
,}^;q58
);p:[=$71
>> r=fzero('humps',1.2) 0)v X
-?)z@Lc
r = 1.2995 ] *rK;
)E e`1 1
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 _ ^0UK|[
l n09_Lr
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： P>] *pD
x)kp*^/
% m-function, f_1.m .T~Oc'wGo
+'g~3A-G
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 E@@XWU21;N
7x$VH5jie#
y=x.^3-2*x-5; ) @f6
FbD9G6h5
>> x=linspace(-2,3); t8#u}u
[-=y*lx %g
>> y=f_1(x); EHq?yj;
F{m?:A
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 \q|<\~A
`jGG^w3
o7fJ@3B/
Kl :x?"g)
Bh q]h
H7Ee0T(`
P[gYENQ
5&Le? -/\
c38EN f
\2 `|e o
Dgz^s^fxU
/Nd`eUn
$_W kI^
CDG,l7
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 AUm5$;o,/
U!524"@%U`
r = 2.0946 e:;u _ be~
'iEu1! t\0
>> p=[1 0 -2 -5] -j}zr yG-
*)qxrBc0
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 -pm%F8{T]
o;{BI
Q1
r = Nb/Z +
|il P>b
2.0946 .arWbTR)~U
r[KX "U-
-1.0473 + 1.1359i 9h0Y">}`b
7^]KQ2fF
8
-1.0473 - 1.1359i t$ 3/ZTx
m}sh (W5\
2．5线性代数方程（组）求解 P^m&oH5]EG
,uCgC4EP
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 JR4fJG
N9BfjT}
AX=B yz^Rm2$f9
%v<BE
tq
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 9<1 dps=c
Kr@6m80E5
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 uwWKsZ4:ij
PI$K+}E
如果将原方程式改写成 XA=B t'e5 !Ma
qPgny/(
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 o9c?)K Q
C;XhnqWv+l
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 cPPTGpqw
9%^O-8!
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 cP >[H:\Xc
|sPUb;&~
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： o6)U\z
>AUzsQ
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 `E8D5'tt
e# z#bz2<
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 CsiRM8
UKp^TW1^
>> X=A\B % 先以左除运算求解 L_R(K89w
p?'&P!
X = % 注意X为行向量 6=g! Hs{
b VcA#7
uA
-2 @5*$yi 'Cp
*apkw5B}C
5 aQglA
^_\%?K_u
6 /G= ?E]^
QeG3X+
>> C=A*X % 验算解是否正确 B PG&R
80 ck h
C = % C=B o4nDjFhh
$Ahe Vps@@
10 `{9bf)vP6
9i+`,r
5 . pyNET
EjP9/V G@=
-1 d VyT `
~ ;ObT=
>> A=A'; % 将A先做转置 PUErvL t
%`} nP3
>> B=[10 5 -1]; %'.3t|zH
v:]z -zU
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 hr3<vWAD
7R$O ~R3p
X = % 注意X为列向量 eD!mR3Ai@D
H7(D8.y )
10 5 -1 |G/W S0
w$"^)E G,7
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
