2．1微分 t& rr;W]
dt(Lp_&v
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： <}1GYeP
bdvVPjGc&
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 iI!g1
ib~EQ?u{
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 NucLf6
=}[m_rp&
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 z2OXCZ*/
$"`e^J9!!
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 K=!?gd!Vw
QykHB
k
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 sW!MV v
A|BN >?.t
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： Q He :
-A1:S'aN-
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; N#7_)S[@0l
Xb7G!Hk#g
>>S2 = 'sin(a)'; I YB;X
<u2iXH5w
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; j9 &0/
~/
?/24-n
>>diff(S1) #oEq)Vq>g|
[3io6XG x@
ans=18*x^2-8*x+b /{nZ I_v#
;Yn_*M/*
>>diff(S1,2) Ct}rj-L<i
`}*jjnr"
ans= 36*x-8 7kQ,D,c'
+( vL ~
>>diff(S1,'b') |p":s3K"Hy
<& =3g/Y
ans= x & Ef6'
8:}$L)[V
>>diff(S2) %)j^>W5
+g8 uV hC
ans=
H9rZWc"*
T2i\S9X
cos(a) 2T}FX4'
K]dX5vJw'
>>diff(S3) dV+GWJNNE
(J eRJ4
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 0/ ?=FM >
{m 5R=22^
>>simplify(diff(S3)) ,:"c"
v*EErQML8b
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 YX 19Q G%
Fs1ms)
2．2积分 QNCG^ub
p|R]/C0f
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 DqlspT
{$^Lb4O[V
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： CiC@Z,ud`
}J\KnaKo
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 B< ?fD
o$bD?Zn
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 {t&+abY
t&Z:G<;
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 8sxH)"S
vCtag]H2@
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 Y([vma>U]
]mmL8%B@_
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 NuKx{y }P
R B M4_L
我们示范几个例子： OgB ZoTT
@X*r5hjc
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; k84 JDPu#
&li&P5!i
>>S2 = 'sin(a)'; e8<[2J)P&
gEQevy`T%c
>>S3 = 'sqrt(x)'; R^F\2yth-
YC0FXN V
>>int(S1) *ocbV`
6sp?'GO`~
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x "Crm\UI6
rnC u=n
>>int(S2) S vR ? nN|
k,nRC~Irh
ans= -cos(a) &-1;3+#w
f;
1C)
>>int(S3) ;qT7BUh(%
gKGM|0u|r
ans= 2/3*x^(3/2) O%(k$ fvM
xkzC+ _A
>>int(S3,'a','b') ^zr]#`@G
7`f',ZK%
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) 4? {e?5)
E64d6z^7u
>>int(S3,0.5,0.6) zn|/h,.
N2 ^B
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) <e&*Tx<8
h^KLqPBt{
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 [1*3 kt*h
p4OiCAW;
ans= 0.0741 tgbr/eCoU
I5J9,j
2．3求解常微分方程式 Zu/ }TS9bi
:3x |U,wC
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， Ya)s_Zr7
8Dq;QH}
condition则为初始条件。 Jh'\ nDz@e
EO5k?k[*
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 v*7l JNN.
e/;chMCq
y'=3x2, y(2)=0.5 I bd
na9z7
5/O;&[l Yy
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 6*<=(SQI
oZV=vg5Dq
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 -B-nTS`
I!ykm\<
对应上述常微分方程式的符号运算式为： |E)Es!dr
Ppzd.=E
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') \&p MF
XKU+'Tz
ans= x^3-7.500000000000000 #D$vH
0} UJP
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 ,rp-`E5ap
eswsxJ/!
0NB6S&lI^k
GP5Y5 )
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') P/'~&*m-
0omg%1vt<A
ans= atan(x^2+1) PL#8~e;'
Xh/i5}5 t
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') j3bTa|UdT
(c<Krc
h
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) wR?M2*ri
h7-!q@
#cBt@SEL'
>69+e+|I
2．4非线性方程式的实根 l GI5
o?f7_8fG
要求任一方程式的根有三步骤： x P.B,1\X
+b.qzgH>r
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， ]Ph~-O
_,i]ra{%
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 `MgR/@%hr
6EhRCl
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 u:pdY'`"#
%6}S'yL
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 R$&| *0
x=yU
}lsV
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 q wu++9BM
${#5$U+kI
例一、方程式为 EdA_Hf
BYEqTwhT&
sin(x)=0 AF1";duA
: z^ p s0
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： {}?s0U$5
@.gT&Hq
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 J_s?e#s
JbG\Ywi0]
r=3.1416 zYdSg<[^
O`O{n_o^u
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 OE -$P
U`JzE"ps]
r = 6.2832 < JHU* Z
R0;c'W)
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： $EbxV" b+
J"8bRp=/|
>> x=linspace(-2,3); !Y-MUZ$f
h)q:nlKUW
>> y=humps(x); ]nN']?{7PW
PGMu6$
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 |H5){ 2V>K
Z~8Xp
R:B-4
2](R}
)_b #c+
k+44ud.j
gh}FZs5 P
M|FwYF^
YL&$cT] 1
:7IL|bA<
A\ze3fmV
a=gT GG"9
?]f+)tCMs
C ^Tc9
'g#Ml`cm
>> r=fzero('humps',1.2) $Ha?:jSc
+Bv{A3E9
r = 1.2995 Es zwg
&qFdP'E;$
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 pq*b"Jku1
\P!v9LX(
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： 9x&,`95O
jgY US@}
% m-function, f_1.m *-Y77p7u
<8!mmOK1
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 JrseU6N
6 -gx ba
y=x.^3-2*x-5; P
/wc9Yt
0F`@/C1y55
>> x=linspace(-2,3); mT5d[ lz
Vlce^\s;
>> y=f_1(x); J' Yj_
TxwZA
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 1QE-[ |
;e ()|
(SoV2[|
kX\t0'=]
qDhz|a#
6,uW{l8L
=9y' 6|>l
0 '~Jr\4
+KDB ^{
_+wou(1y
FM0)/6I'x
@pY AqX2
VGM8&J{o'
&B#H gWud
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 '\l(.N
]XJpy-U
r = 2.0946 :doP66["!
3A4?9>g)KU
>> p=[1 0 -2 -5] <N=p_m
2T
f_9%kEXICt
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 nmc=RK^cM
Cq u/(=
r = >6=y x CJ
% &4sHDP
2.0946 +G? 4Wc1
g!V;*[
-1.0473 + 1.1359i mDvZ 1aj
QT9(s\u
-1.0473 - 1.1359i ^g~Asz5]
p44d&9
2．5线性代数方程（组）求解 hqFK2
lR
4 bh m1Q
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 JnmJN1@I
N3MMxm_u
AX=B b3H~a2"d
niFX8%<hP
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 q3VE\&*^F
N/8qd_:8
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 jkFS=eonK
tKo ^A:M
如果将原方程式改写成 XA=B ' ,a'r.HJH
W.-[ceM
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 (pH13qU5
be$wG O=Ts
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 "|]'\4UdzQ
hp%|n:.G
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 e8a_)TU?
:upi2S_ e
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： vXR-#MS`}
3 {\b/NL$
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 ?Re @`f+*
1G =1FGvP
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 ]B :g<}5$4
uwyzxj
>> X=A\B % 先以左除运算求解 j7xoe9;TxI
w-AF5%gX
X = % 注意X为行向量 tUGnD<P
>+7+ gSD#:
-2 Q SW03/_f
Ii?<L z
5 uPsn~>(4
Vu*yEF}
6 ot;j6eAH~E
.D-} 2<z
>> C=A*X % 验算解是否正确 Nw+0b4{
=mn)].Wg
C = % C=B 0X ~
zKx?cEpE
10 U!XC-RA3
_
g*N~r['dZ
5 IwZn%> 1N
bVQLj}%
-1 o`+6E
q0w
d?oupW}uu
>> A=A'; % 将A先做转置 k *J}/HO
'D1
T"}
>> B=[10 5 -1]; 5 4JZEc
oA(jtX[(
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 %+L:Gm+^g#
)p~\lM}?d
X = % 注意X为列向量 E=A h_zKU
_ ;O$o t\5
10 5 -1 \wCj$- ;Jt
1/j J;}
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
