2．1微分 <5L99<E
{zZ)JW M<w
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： $mK;{9Z
Y;Nq (
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 0;x&\x7K
_'!qOt7D
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 Lvt3S
.l
7& ,$
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 b
B#QIXY/L
0J?443A Y
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 io\t >_
N?c~AEk9U
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 U
_pPI$ =
Z>UM gu3c
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： q-CgX wU
O!>#q4&]
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; !hJ!ck ]M
PkFG0
>>S2 = 'sin(a)'; ,fiV xn Q
` C d!
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; X\BFvSv8C
gb!0%*
>>diff(S1) v~x`a0
[.Fm-$M-
ans=18*x^2-8*x+b s5v}S'uO{
B4HMs$>
>>diff(S1,2) ,2U
3u t<o-
ans= 36*x-8 zk1]?
7[ n
|3
>>diff(S1,'b') ^7Z? }t gU
TP x`qyW
ans= x cSv; HN:
P_H2[d&/>D
>>diff(S2) w_"-rGV
mz x$(u
ans= Udc V<#
\' zloBU
cos(a) ^N^s|c'
fHwS12SB
>>diff(S3) g`Q!5WK*
Mig l
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 ^} Y}Iz
vo:h"ti
>>simplify(diff(S3)) @+
T33X)h%
uwi.Sg11
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 ;P}007;
"Q\ b6
7Ch
2．2积分 zgGJ<=G.
t@ri` ?0w
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 DTsD<o
ml)\R L
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： * >:<
v =dK2FaY
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 o:*$G~. k
RH7!3ye
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 Ps (oxj7
X,lhVT
|
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 a*&&6Fo
}fef* >>}
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 \R-'<kN.*
"E4CQL'U
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 Q t>|TGz
q-@&n6PEOZ
我们示范几个例子： B7Zi|-F
4$mtc*tzT
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; !?J- Y
K:VZ#U(_
>>S2 = 'sin(a)'; 1f M`n 5?"
j,9/eZRZ
>>S3 = 'sqrt(x)'; Nw"?~"bo
FI$
-."F
>>int(S1) xDPR^x Y
Hj `\Fm*A
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x ~e) "!r
q<^MC/]
>>int(S2) ; bHS^
xzF Q)t&
ans= -cos(a) z TPNQ0 =|
48 0M|^
>>int(S3) %2B1E( r%M
?'H+u[1.
ans= 2/3*x^(3/2) mQSn*;9\T3
d0Ub t
>>int(S3,'a','b') d.Ccc/1-
E jf5M\o
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) Jf#-OlEQ
_I3v"d
>>int(S3,0.5,0.6) fz8 41 <Y
x&+&)d
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) G;[O~N3n.
;n|%W,b-
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 .LnknjC
xpu 2RE
ans= 0.0741 8GjETq%}
<9:~u]ixt
2．3求解常微分方程式 \~Ml<3Zd:
3^$=XrD
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， m6}_kzFz
Lp4F1H2t-
condition则为初始条件。 DWCf+4
^j10
f$B
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 jT F "
AGO" ),
y'=3x2, y(2)=0.5 )iK:BL *Nw
[f[Wz{Q#Y
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 [7LdTY"Tl
$A/?evJi8R
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 OjG`s-91&
F0r2 =f(?
对应上述常微分方程式的符号运算式为： wa`c3PQGu
8$Zwk7 w8A
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') 3-1a+7fD
JY;u<xl
ans= x^3-7.500000000000000 Q7 d@ +C
v9KsE2Ei
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 ( plT/0=^t
x%[NK[ ^&
?Pf#~U_
S;D]y m
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') !#*#ji xo
o61rTj
ans= atan(x^2+1) >El]5M7h7
gSj0+|
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') &@BAVc z
]w$cqUhM
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) 4sBv W
W iQVZ {
UWK|_RT6SA
~t$ng l$
2．4非线性方程式的实根 fOdqr
`R7d n/
要求任一方程式的根有三步骤： %W=BdGr[8z
V\e1NS
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， ue @W@pj
1wd c4>
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 ct
OCj$$u
/0fHkj/J=B
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 !y>up+cRjl
B*Om\I
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 Uug R
mpVD;)?JmM
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 PlK3;
mO(Y>|mm
例一、方程式为 G -K{
xO<%lq`
sin(x)=0 nt-_)4Fm
qN9 ?$\
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： 6K<o0=,jm2
R$A%Zh6
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 4<)*a]\c5M
z 0zB &}
r=3.1416 ) j&khH D
*QI Yq
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 v6[VdWOx5
, /jHhKW
r = 6.2832 8faT@J'e;
6 A|XB3
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： *A8Et5HAv
Y
9z*xS
>> x=linspace(-2,3); _*8 6
_3wK: T{:
>> y=humps(x); q
#7Nk)<.
5[r}'08b
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 $cwmfF2C
1ah,Zth2
?EPHq,
E
K ;]dZ8
{Oq8A.daJ
-"a(<JC^NI
+]NpcE'
1>V q< z
h& v].l
S1@r.z2L
Nq\)o {<1
Q=vo5)t
M8 \/[R\
2@pEiq3
P$ N5j~*
>> r=fzero('humps',1.2) Mqk|H~l5c
* a1q M?
r = 1.2995 "lC>_A
-%P}L aC <
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 S?a4 IK
bwP@ }(K
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： \ U cv<S
V>E7!LIn .
% m-function, f_1.m &`vThs[x
%H&WihQ
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 $UK m[:7
+/kOU z/]
y=x.^3-2*x-5; 3fXrwmBT8
Lc[TIX
>> x=linspace(-2,3); }lhk;#r
Rbr:Q]zGN
>> y=f_1(x); @2d9
7.X
_5(p=Zc
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 +%Kk zdS'
3vAP&i'I
jOGiT|A
O0`ofF N
1|ddG010
HrFbUK@@
TvT>UBqj=
Ex*{iJ;\
;V?(j 3b[
COw!a\J l
}aXS MxCd
4MW oGV9
tQUK w@@Q
Otq1CD9
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 a j
.7t =^
3="vOSJ6&
r = 2.0946 kjdIk9 Y
P ec Zuv
>> p=[1 0 -2 -5] SK@ p0:
{YrA [ 9
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 7P*\|Sxk%
7^M$u\a)U
r = f O+lD
'/0e!x/8
2.0946 }|[0FP] v
h <$%y(lP
-1.0473 + 1.1359i F]>+pU
kX }sDvP3
-1.0473 - 1.1359i Jc]66
~=[5X,Ta
2．5线性代数方程（组）求解 ~!7x45( 1#
88[u^aC
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 yIngenr$
NRT]dYf"z
AX=B 4t/ ?b
$9X?LGUz
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 #^9k&t#!6
X c"
%-
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 e 6 >j
gy
FU .%td=:
如果将原方程式改写成 XA=B Lw(tO0b2H
mSZg;7DE3*
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 \{~CO{II
d=uGB"
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 ^u"WWLZ
K4]Z VMm/*
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 }-XZ1q r
(0`w.n
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： 7j&EQm5\9
DS7L}]
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 |/%5~=% 7
!io1~GpKS
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 Wc!]X.|9*
^>Z7."uGY
>> X=A\B % 先以左除运算求解 {^uiu^RAc
J6 5:MaS
X = % 注意X为行向量 K[/L!.Ag
)uR_ d= B&
-2 $Z w +"AA
:Mh\;e
5 Jm g9|g!f
f5un7,m
6 ZUS5z+o
`{
HWk^
>> C=A*X % 验算解是否正确 jrz.n 4Y`
W(4 $.uZ)
C = % C=B 5/h-H r
AL,7rYZG$
10 L Yd:S
^EkxZ4*g
5 N81M9#,["~
S&Xl Mu
-1 mT UoFXX[
6vps`k$,~
>> A=A'; % 将A先做转置 RjO0*$>h
R 4JfH
>> B=[10 5 -1]; .j^BW r
/^\E:(RH
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 6~2upy~e
#-+Q]}fB4
X = % 注意X为列向量 FP F$~ sX
V rx,'/IS8
10 5 -1 j3N d4#
p[].4_B;
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
