2．1微分
Sn" 1XU
KcN EB_i
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： \f@PEiARG7
Wd&!##3$Q
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 >RF [0s'-
JBi<TDm/
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 ddlLS
k gWF@"_
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 Ou8@7S
+ ?nW
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 Qmzj1e$6x
(K^9$w]tf
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 (ioi !p
&``;1/J*W
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： N7}.9%EV
i<)c4
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; e l7P
3D;\V&([
>>S2 = 'sin(a)'; IqcPml{\
}|{yd03 +
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; m3P%E8<Q#
A&F@+X6 @
>>diff(S1) pmIQD "
}c%QF
ans=18*x^2-8*x+b i&{8a3B
4vp,izN W
>>diff(S1,2) j D$T
[
ecYpE<
ans= 36*x-8 " 0K5
/9
O2e ty2}?f
>>diff(S1,'b') O' A''}M
FU5vo
ans= x KzI$GU3
vr=iG
xD
>>diff(S2) w*$nG$
7cY_=X-?Y
ans= +Rxf~m(pV
Aj SIM.
cos(a) @&mv4zz&W
H@,jNI h~h
>>diff(S3) B5zu ?AG
6hAeLl U1
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 !|!: M Yn
zrD$loaW.'
>>simplify(diff(S3)) ^nF a'=
s1:UCv-%
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 :}o0Eb
u5$\E]+ _
2．2积分 :$dGcX}
c*HS#C7' 2
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 G@
BrU q
-Ufd+(
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： }bAd@a9>3
.kBi" p&
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 r >u0Y
6wIv7@Y
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 Xv9kJ
n"(n*Hf7b
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 `f8{ ^Rau
)=[K$>0k
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 #O\4XZ,Lv
9 qq y( H
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 @ X\S h>H
nBWrkVX
我们示范几个例子： ^['% wA%
S2;{)"mS
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; V.: a6>]
DUM,dFIlvF
>>S2 = 'sin(a)'; D8 pa Ip
\02j~r`o
>>S3 = 'sqrt(x)'; 2JUX29rER
D0us<9q
>>int(S1) el;^cMY
K:46 5r:
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x rV[#4,} PF
8 y/YX
>>int(S2) J &u&G7#S
Czid"Ih-
ans= -cos(a) E)NH6 ~
R]m`v: 9
>>int(S3) 3@XCP- `
0{gvd"q
ans= 2/3*x^(3/2) MS_&;2
#HJ F==
>>int(S3,'a','b') tA3]6SIK@
:_p3nb[r
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) "n7rbh3VW
(GMKIw2
>>int(S3,0.5,0.6) HI,1~ J w+
Op~sR ^ez
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) D 7 [n^WtL
?G* XZ0u~
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 c zL[W2l
|t4k&Dkx`
ans= 0.0741 {{tH$j? Q
!5? #^q
2．3求解常微分方程式 )[~ #j6
. gG<08Z
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， d[kb]lC
Kbg`ZO*
condition则为初始条件。 (+>+@G~o
~Rs|W;
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 4) ]g=- 3
!jU<(eY
y'=3x2, y(2)=0.5 Z?ZcQ[eC
QKwWX_3%Z]
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 qaA\.h7
wkdd&N w;
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 Y
H
2i V
Z, lU O.
对应上述常微分方程式的符号运算式为： $P866F
ed'}ReLK
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') -,TBUWg
X']>b
ans= x^3-7.500000000000000 Mpk^e_9`<
3+E J %
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 _>dqz(8#
oeDsJ6;
,au64sH
Xd )ba9{
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') Ua5m2&U 1
eG"iJ %I
ans= atan(x^2+1) FT[oM<M\Xd
V*=cNj
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') H'q&1^w)
HAf.LdnzS
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) !V+5$TsS
KjZ^\lq'
pvI(hjMYPk
$- =aqUU
2．4非线性方程式的实根 6lT1X)
Ook 3B
要求任一方程式的根有三步骤： !Ya
+
>: W)9o
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， x3PeU_9
D ECX18D
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 vEtogkFA"
7/PHg)&
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 t<ftEJU"'w
#xW%RF
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 /nv1 .c)k
nI 2}E
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 UM| GX
(pi7TS J
例一、方程式为 v
0rX/ mj
wS``Q8K+dM
sin(x)=0 k5!k3yI
u+I-!3J87
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： O3bK>9<K
u%XFFt5
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 S~(4q#Dt-
hf:n!+,C
r=3.1416 g ?`D8
*X niF~M
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 m9#u. Q*
Qi= rhN`
r = 6.2832 D.*JG7;=Z
o&(%:|
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： 7c
%@2
EF "ar
>> x=linspace(-2,3); t$l[ 4
R-
M#<x2ojW
>> y=humps(x); \M>AN
Z}
U?$v 1 ||
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 )z/j5tnvm
Q l&P1|&
L'a MXN O
cb'8Li8,j
X){F^1CT{
}-r"W7]k
CvbY2_>Nh
/ jj!DO#
U}gYZi;;$
sv0 kksj
xZ;';}&pj
yt !K|g
(a^F`#]
#y>oCB`EM
B j@&c>
>> r=fzero('humps',1.2) F6%rH$aS
' O{hr0q}
r = 1.2995 &v 5yo}s
}}_WZ},h
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 LR9'BUfFv
6@l:(-(j2A
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： i
w m7M
t:M>&r:BL
% m-function, f_1.m =602%ef\
\s~ W;m
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 <7 PtC,74
Llk `
y=x.^3-2*x-5; 3_33@MM
E> 4
\9
>> x=linspace(-2,3); $mlsFBd
4
Qw; r
>> y=f_1(x); Q7}w Y
P `2Rte6s
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 ImF/RKI~ "
}:jXl!:V
rz l2Oj"4
0 hNc#x6
niA{L:4
n"d T^
g
\{UiGCK
`q
xg
v
WhtClJ3
@l;f';+
w^ DAu1
P}VD}lEyO
Eydk64 5:3
;$%+TN
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 f3596a
Q7Dkh KT
r = 2.0946 Q0 ^?jh
SQz >e
>> p=[1 0 -2 -5] DAv AozM
Wo2M }]0
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 Y.}n ,y|J}
(TY^
ky Sr
r = kw yvd`J8
u;Z~Px4]v
2.0946 ?V zST }
Ur@'X-
-1.0473 + 1.1359i }2h~ o~
ZAiQofQ:2
-1.0473 - 1.1359i J7l1-
GQ[\R&]q<
2．5线性代数方程（组）求解 =)T5Y,+rJ
35,SP R
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 s\ ~r
8
N*$Q(K
AX=B tZ6KU11O
qQ|v~^
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 k@wxN!w;
Q p< 6qM35
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 E8V,".!+E
Q}m)Q('Rk
如果将原方程式改写成 XA=B | 9(uiWf
+ 1cK (Si
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 Z-/ E$j
Uq[NO JC
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 $I tehy
:Tjo+vw7$H
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 YxsW Y7J
,Z52d ggD
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： |#MA?oz3T
\Mi y+<8$
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 \Hy~~Zh2
X#p E!mT
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 0 _%u(?
3|@Ske1%Y
>> X=A\B % 先以左除运算求解 /r]IY.
^Ji 5)c
X = % 注意X为行向量 %+`$Lb?{
&| ',o ?'F
-2 #5'9T:8
Z,Q)\W<'-
5 +=:CW'B5
'KXvn0
6 z ?+N3p9
}t] CDa_n
>> C=A*X % 验算解是否正确 ) TV'eq
zs7K :OlkA
C = % C=B 4Kx;F
9!%~
M3x%D)*
10 (u RAK
RELLQpz3
5 r6j
3A
$7lI Dt
-1 iGm[fxQ|
qf+I2 kyS
>> A=A'; % 将A先做转置 gwT"o
V~ZAs+(2Z
>> B=[10 5 -1]; VBsS1!g
}}K4 4<]u
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 y<.1+TG
Ga$+x++'*
X = % 注意X为列向量 / 1g_Uv;
*y
F 9_\n
10 5 -1 rFdovfb
bf::bV?T
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
