2．1微分 jfxW9][
Ood8Qty(
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： h,:8TMJRRN
de.!~%D
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 K 8,fw-S%
nJ !`^X5I
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 U#=Q`
i
#5rk(^t
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 3B }Oy$p
4wLp
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 ^rz8c+ly
+bi%4DA
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 #b[B$
SiN22k+
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： } Wxu =b
P'^#I[G'
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; q&.SB`
jOuz-1 x,&
>>S2 = 'sin(a)'; Za+26#g
V~rF `1+5N
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; sq6|J])GgU
Hu"?wZj
>>diff(S1) -]1F ] d
F-MN%WD~
ans=18*x^2-8*x+b P{
AJH1
-rYOx9P4
>>diff(S1,2) &5Ai&<q"p
G813NoS o
ans= 36*x-8 wO6`Ap
t1:
>L6 V!
>>diff(S1,'b') ({/@=e x*
B dHLow
ans= x MjIp~?*
bAIo5lr
>>diff(S2) VH&6Tm1
Vj^<V|=
ans= 9p
;)s
K 2J DG.<
cos(a) vAW+ ,Rfj
k@qn' Zi
>>diff(S3) G o>_4)jy
V H3 j
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 K8 Y/sHl
!^ko"^p
>>simplify(diff(S3)) 8 Zy`Z
u@v0I$
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 5;=,BWU
rYI9?q
2．2积分 '2+Rb7V
i*`; /x'+
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 # [c`]v
9OYsI
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： T7eo_Mn
]HoQ6R\E b
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 KD]8n]c
MH{$"^K
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 SOo/~ giz|
/`yb75
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 %;0Llxf "
_aOis N{
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 RFyeA.
N
uQ4WM
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 r0=Aru5n
;5 W|#{I
我们示范几个例子： R3;GMe@D#
7o?6Pv%HJC
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; g0w<vD`<g
D.G+*h@ g
>>S2 = 'sin(a)'; MrIo.
e6{}hiM
>>S3 = 'sqrt(x)'; F5Tah{
z@hlN3dg
>>int(S1) "i$Av m
U[9`:aV;
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x P E1F3u>O
<6k5nE h
>>int(S2) {4"!~W
@;m7u
ans= -cos(a) XBv:$F.>$
d)m +Hc.
>>int(S3) pQc5'*FKd
^S*~<0NQ'
ans= 2/3*x^(3/2) 7VkT(xnm
WlnmW(uahW
>>int(S3,'a','b') pv%UsbY
b;#Z/phix
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) ?[Xv(60]
\gferWm
>>int(S3,0.5,0.6) -Y'Qa/:7
+5( #~
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) (Nd5VuI
L{xCsJ3d
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 [>xwwm
?.#?h>MS{s
ans= 0.0741 9(k5Irv"'h
q X[a\HQa
2．3求解常微分方程式 > x0"gh
w[Ee#Yaj.-
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， S0C
7'H%?#
fvKb0cIx]
condition则为初始条件。 C5;=!B
!MoJb#B3^]
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 E! ;giPq*n
!kZ9Ox9^
y'=3x2, y(2)=0.5 Ndq|Hkd
cOa.]Kk
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 Ht, _<zP;
mZ sftby}
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 ]MJyBz+k
7!Z\B-_,
对应上述常微分方程式的符号运算式为： x j~ /C5@
<oG+=h
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') P]A>"-k
/ *J}7
ans= x^3-7.500000000000000 !|K~)4%rj
"HTp1
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 mB &nN+MV
t?H.M
iL f:an*vH
NBzyP)2)
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') 1SoKnfz{6
kylR)
ans= atan(x^2+1) /Y:1zLs%
=qH9<,p`H
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') HlEp
Dph%
& kh7|:{j
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) a-\\A[E
],vUW#6$N
9{bG @g
K 2PV^Y
2．4非线性方程式的实根 yN VuSj
@cNBY7=
要求任一方程式的根有三步骤： cbvK;;
7Yp;B:5@
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， 't".~H_V
9 ! [oJ3
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 nHxos` Qx
gIv :<EJ9
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 UO(B>Abp
F4+mkB:w*7
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 O8#}2
xo#&&/6
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 _%#Q
\ D
V*P3C5 l
例一、方程式为 \q#s/&b
:<Z*WoEmt
sin(x)=0 qGG
@ @$=MS N
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： g`~c|bx
Qp8. D4^@3
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 yU"lW{H@
p-n_
">7
r=3.1416 M,1Yce%+}
2Wz/s 0`
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 o"D` _ER
#W`>vd}
r = 6.2832 `F <)6fk
W tF
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： l/[0N@r~
]|g{{PW H
>> x=linspace(-2,3); F , {M!dL
^L}fj$
>> y=humps(x);
}Y\A yl
t6p}LNm(V
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 U1(<1eTyu
hY=#_r8
-D DH)VO
9u<4Q_I`
%0 (,f
OD5c,IkWB
CpHF3o`Z6
: @KU_U)\
w6>'n
}
S N_!o2 F2
=1 g
y0 5(/NH>
g2%&/zq/
$(v1q[ig
]$/ TsN
>> r=fzero('humps',1.2) 7M#2Tze}
D-*`b&i48
r = 1.2995 $7~ k#_#PC
wic"a
Y<m
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 zR :Mg\
@F)51$Ld
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： u
)+;(Vd
TNBFb_F
% m-function, f_1.m 6L Z(bP'd;
A,-UW+:
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 \y?V ou/
cl4`FU
y=x.^3-2*x-5; s6SG%Vd
nokk! v /
>> x=linspace(-2,3); *qKPZb~
tcOgF:
>> y=f_1(x); vgRjd1k.\y
zOA{S ~>
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 3~H_UGw
K~"uZa^s
qk~ ni8
HV'xDy [)
O o9 ePw7
0 /?V _
hnh a1
f
Arh0m. w
@!/w'k 8
+ e_NpC
TJ9JIxnS
WP-?C<Iw
BeZr5I"`}
i -Ck:-J
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 ( Qmpz
1~\YJEsb}d
r = 2.0946 )s^D}I(
("UcjB^62
>> p=[1 0 -2 -5] bL\ab
:f (UZmV$
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 -'btKz*9
8Wx>,$k
r = wi/Fx=w
W/COrgbW
2.0946 :'RmT3
<A?- *
-1.0473 + 1.1359i _j t>%v4}4
MHo(j%I1E
-1.0473 - 1.1359i MKIX(r( |
@]yd Wd
2．5线性代数方程（组）求解 SQ7Ws u>T@
3u +A/
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 %>^CD_[eO
csP 5R3
AX=B vd`;(4i#X
${\iHg[vZ
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 SYkLia( Ty
sd|5oz )
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 ^hPREbD+f
4DaLt&1
如果将原方程式改写成 XA=B >t_5( K4
`j+aAxJ=\
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 ,r\
x=(y
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 .OI&Zm-
J8Bz|.@Q
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 AwrW!)n }
H4DM,.04
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： 3e &H )
x { Z_r D
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 .$nQD.X
*`.h8gTD,
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 It$'6HV~Sb
+[386
>> X=A\B % 先以左除运算求解 K,f*}1$qM
aH7i$U&
X = % 注意X为行向量 +o +e*B7Eh
B->3/dp2c'
-2 [-}LEH1[p
z8 v] Kt &
5 rqJ'm?>c r
:E
]Ys
6 *d%"/l^0
-Zs.4@ GH
>> C=A*X % 验算解是否正确 zJC!MeN
M \4pTcz{
C = % C=B \*] l'> x1
L9(mY `d>"
10 G i 1Jl"
Mf 'T\^-!
5 LIzdP,^pc
)F_0('=t
-1 1Pya\To,m
FDfLPCQm
>> A=A'; % 将A先做转置 P`ZzrN
./SDZ:5/
>> B=[10 5 -1]; ]Rah,4?9f
@E Srj[
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 lG[@s 'j
6T*MKu
X = % 注意X为列向量 7 X+SK&PX
m/
D ~D~
10 5 -1 mab921- n
*`D}voU
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
