2．1微分 \)*\$I\]
)E",)}Nh
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： <YCjo[(~
`$"{-
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 u n\o&0}
G9S3r3
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 fm#7}Y
fhk(<KZvJ
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 E.C=VfBW
<OiH%:G/1
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 )l*3^kwL{U
)[99SM
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 5bZ0}^FYF
7yG%E
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： B|syb!g
8I *yS#
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; uGC%3! f!
PY CG#U
>>S2 = 'sin(a)'; 2kgSIvk\
dM"5obEb
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; B8wGWZ@
(;Bh7Ft
>>diff(S1) ZkibfVwe
;Zf7|i`R3
ans=18*x^2-8*x+b *"jlsI
_+}o /449
>>diff(S1,2) 6Po {tKU
;Gp9
? 0
ans= 36*x-8 xJ^B.;>
$LBgBH &z
>>diff(S1,'b') ;Gu(Yoa}y
>z3l@
ans= x H H3Z?g
iOAn /[^xk
>>diff(S2) aEEb1Y
[:izej( \
ans= >of9m
}L `Z<h*H
cos(a) uC]c`Ue
*>GRU8_}
>>diff(S3) >TGc0 z+
6 {`J I
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 OgK' ~j
TC gW^iu
>>simplify(diff(S3)) XB[EJGa X
zGL.+ @
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 juWbd|ad"
Eg4&D4TG p
2．2积分 tI0 D{Xrc
dF&@q,
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 "-HWw?rx/
T7Y+ WfYh
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： U $= Z`^<
>qMz Qw2
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 : t
D`e<
*\0h^^|@
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 6/ 0bis
H
nW d;XR6|
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 (76tYt~I=
fG@]G9Z
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 $7O3+R/=
^= kr`5
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 _GoFwVO
PmE 8O
我们示范几个例子： }? CKE<#%
!%D;H ~mQ
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; R_80J=%0
=+VDb5= TV
>>S2 = 'sin(a)'; }+:X= @Z@
5sB~.z@
>>S3 = 'sqrt(x)'; T#}"? A|
Vc8w[oS
>>int(S1) bz`rSp8h
Xa g#ZT
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x RRpCWc Iv"
|/u ,6`
>>int(S2) E]pD p
/D
wEl/ s P
ans= -cos(a) 0Fs2* FS
1_mqP Mm
>>int(S3) c&g*nDuDj
F_iZ|B
ans= 2/3*x^(3/2) 0c&DSL}6
5',&8
>>int(S3,'a','b') ] $F%
AI$\wp #aw
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) 7#P Q1UWl
h \6 t\_^\
>>int(S3,0.5,0.6) bW GMgC
1#XZVp;M
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) \XbC JJP
Ibv`/8xh
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 cmp@Ow"c
IRsyy\[kp8
ans= 0.0741 |-]'~ @~
#_'^oGz`
2．3求解常微分方程式 @ n$/2y_.
Hr(%y&0
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， 7\ i> >
W#L/|K! S
condition则为初始条件。 -{p~sRc&
DLoH.Fd
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 i&L!?6 5-f
1Uc/ r>u9
y'=3x2, y(2)=0.5 &3 x
[0DV
:>3?|Z"Aj
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 }n k [WW
=BO>Bi&&
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 1 l-Y)
cE *d (g
对应上述常微分方程式的符号运算式为： Md*.q^:
V+$fh2t
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') 'On%p|s)H
\[]4rXZN0
ans= x^3-7.500000000000000 % 3<7HY]~
}u;`k'J@
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 *dx E
( dP
Z1U@xQj
To,*H OP
R-Gg= l5
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') YN7JJJ/~T
~Vf
A
ans= atan(x^2+1) |0VZ1{=*
Wfsd$kN6{
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') [I (
Yn
j;EH[3
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) lB
*~`BG5w
2I_~] X53[
CTQJ =R"
2．4非线性方程式的实根 +?6@%mW'
-7VQ {nC
要求任一方程式的根有三步骤： 3qy 4 nPg
2k^'}7G%
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， se29IhS!e
2~%^ y6lR
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 kTm}VTr
1
"Ve9\$_s
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 vywpX^KPv
cT
n C
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 @jKB[S;JSn
f%rZ2h)
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 rXq{WS`
<sls1,
例一、方程式为 ">vi= Tr
/Edq[5Ah
sin(x)=0 kG` &Z9P
!gJw? (8"
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： m {r#o?
?$VkMu$2k
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 - 0P9|;h5
v4F+^0?
r=3.1416 upGLZ#
TrBW0Bn>p
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 sGc.;":
;?%_jB$P
r = 6.2832 P+DIo7VTX
gmZ] E45
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： KC nm _4
\sus L D
>> x=linspace(-2,3); Y}
6 @ w
uc/W/c u,
>> y=humps(x); w[AL'1s]
h=B=
J
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 ~yJJ00%
~7m +N)5
\J;_%-Z
9+3 VK
.AZwVP<
t8`wO+4@
my#\(E+
c :""&>Z
BAtjYPX'w
<LN 7 +7}
6"R'z#{OF
fElFyOo+
_PSO T5{
L$,yEMCe
U>DCra;
>> r=fzero('humps',1.2) L @Q+HN
nu(7Y YCM$
r = 1.2995 rR
8 6D
bP> Kx-%q
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 \>X!n2rLZe
!s : e
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： Hz)i.AA 4
F~eY'~&H}
% m-function, f_1.m Q!_d6-*u
_n_()at)
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 g/VV 2^,
6&il>
y=x.^3-2*x-5; f +8 QAvh
dT[JVl+3=
>> x=linspace(-2,3); Kxg@( Q
gtePo[ZH.P
>> y=f_1(x); _ ,/~P)
[2h.5.af
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 _
j`tR :
3R0ioi 7
IdK<:)Q
l qKj;'
~]q>}/&YLo
xF@&wg
ambr}+}
)]s<Czm%
1G K>&;
&}
{ #g
9bspf {
EC 1|$Co
tym:C7v%~
@5ud{"|2
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 ,[)l>!0\H
B(k tIy
r = 2.0946 5OzEY7K)
}>d
>> p=[1 0 -2 -5] + @ ~WKa
I]E 3&gnC
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 /;Hr{f jl{
`j(._`8%a
r = .ESvMK~x
WTJ {M$
2.0946 X%3?sH
.Z
67
-1.0473 + 1.1359i "r* `*1
oQObr
-1.0473 - 1.1359i OF+4M q
~ > Q9
2．5线性代数方程（组）求解 h<TZJCt
x7U=1y(
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 ^6 z"@ +;*
;o9ixmT<-o
AX=B p @nj6N.--
!ltq@8#_|
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 T7^;!;i`X
%9a3 $OGZX
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 %^ L{K[}
r
PK.Q)g
如果将原方程式改写成 XA=B IEMa/[n/
q\ ]X1N
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 oJ\g0|\qwe
_io'8X2K%
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 8 49,1n^
b&mA1w[W]
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 >%om[ ]0E
O ~6%Iz `
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： } b&lHr'Uw
}`g-eF >p
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 o3/o2[s
Z )M
"`2Ur
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 YnRO>`
HFZ'xp|3dn
>> X=A\B % 先以左除运算求解 @ ,T Iw[p
XhHgXVVGG<
X = % 注意X为行向量 ;Pt8\X
"(7y% TFt:
-2 !>n!Q*\(Ov
rR-[CT
5 7I
X Wv-
'<BLkr# @
6 l d@+p
l|?tqCT ^h
>> C=A*X % 验算解是否正确 \&hq $
W Su6 chz)
C = % C=B lAP k/G
C $TU
TS
10 HS/.H,X
uBx\xeI
5 y>aO90wJ
Ee2 P]4_d
-1 $t):r@L
B_Q{B|eEt&
>> A=A'; % 将A先做转置 6/mz., g2
MmN{f~Kq9
>> B=[10 5 -1]; ;v@ G
tfGs| x
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 V%r`v%ktF
# dUKG8-HJ
X = % 注意X为列向量 BZ?3= S1*
4 k< o
10 5 -1 ^EX"fRwNi
;rT'~?q
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
