2.1微分 U4gwxK
ui1m+
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: [w f12P
&UR/Txnu
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 .Q@"];wH
=&b[V"
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 Q_.Fw\l$`
3)Y:c2
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 >gJWp@6V
x(=x;X$[^
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 b`zf&Mn
Ziimz}WHF
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 03@|dN
Phu|
hx<
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: 7`HUwu
(_ah~VnO
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; vq1&8=
"6Uj:9
>>S2 = 'sin(a)'; B_glyC
Ir #V2]$
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; !`o:+Gg@
X>7]g670@
>>diff(S1) mcr#Ze
F*VMS
ans=18*x^2-8*x+b 4&hqeY3
!!%[JR)cS
>>diff(S1,2) sA-W^*+
gecT*^
ans= 36*x-8 Q0Qm0B5eY
5dw@g4N %^
>>diff(S1,'b') 5'Jh2r
GY]6#>D#7
ans= x u%T$XG
sJK:xk.6!
>>diff(S2) ugCS &
u;ooDIq@
ans= tO>OD#
CU1\C*
cos(a) ?En|
_E_C
m4SXH> o
>>diff(S3) ^iRwwN=d
0!,gT H>
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 w[7.@ %^[
ca3BJWY}J
>>simplify(diff(S3)) ?Ga2K
FWpN:|X BS
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 @W\4UX3dK
{&}/p-S
2.2积分 `TD%M`a
a3dzok
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 UG"6RW @
2u*h*/
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: J={OOj
kV:FJx0xP
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 '
MS!ss=r
Ih-3t*L
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 e8ULf~I
'6.>Wdd
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 uO _,n
eC^0I78x
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 SGBVR ^
fY%M=,t3c
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 Z(LxB$^l[
uhTKCR~
我们示范几个例子: 65waq~#
cVB|sYdf
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; B-\,2rCC Z
9Q C"Od9H
>>S2 = 'sin(a)'; !c4)pMd
1!>bhH}{D
>>S3 = 'sqrt(x)'; 192 .W+H<
Tsm1C#6 Y*
>>int(S1) P1 7> 6)a
^o $W
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x VMxYZkMNd_
w69>tC
>>int(S2) hF7V !*5
:u>W&D
ans= -cos(a) _&; ZmNNhc
*D=K{bUe'
>>int(S3) mD D4_E2*
'^Pq(b~
ans= 2/3*x^(3/2) }yx=(+jP
tk`: CT
*
>>int(S3,'a','b') \3t,|%v
vQ:x%=]
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) U9<_6Bsd
F3r S6_
>>int(S3,0.5,0.6) *oEv ,I_
Qy{NS.T
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) %$/=4f.j
Jq#[uX
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 beJZpg
MS{Hz,I,
ans= 0.0741 96vj)ql
>:.w7LQy/
2.3求解常微分方程式 .>k=A|3G
S#P+B*v
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , #t=[w
'GrRuT<
condition则为初始条件。 ?O!]8k`1$
n)tU9@4Np
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 J=@hk@Nq#
ktN%!Mh\
y'=3x2, y(2)=0.5 5_v5
]9fS@SHdx
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 !)NYW4"
DD2adu^
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 +:}kZDl@ X
"PMO
对应上述常微分方程式的符号运算式为: 1JIG+ZN md
yU *u
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') m[8IEKo
FU[*8^Z
ans= x^3-7.500000000000000 6j_ 678
%WZ$]M?q
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 5;}2[3}[
[Uswf3
B\f"Iirw
X)8e4~(?
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') 'gYg~=
2bkJ /u`i
ans= atan(x^2+1) ^s=*J=k
: g5(HH
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') [8.-(-/;
*u}'}jC1X
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) 0fA=_=A,
><cU7 ja[^
ubi~%
?HV }mS[t
2.4非线性方程式的实根 6s5yyy=L%~
s"q=2i
要求任一方程式的根有三步骤: X~Cq
^,`M0g\$
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, UoHd -
Yh$fQ:yi\&
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 IytDvz*|
"T7>)fbu
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 *!w25t
hXc}r6<B
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 |g!`\@O
2QL?]Vo
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 "W5rx8a
SB/3jH
例一、方程式为 `c9'0*-
\E77SO,$
sin(x)=0 `BjR.xMv
BPewc9RxV
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: Bzw19S6y
^Q\XGl
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 8#l+{`$z
03_pwB)^
r=3.1416 (:n|v%
iD714+N(
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 |IN[uQ
1qZG`Vz
r = 6.2832 /[{auUxSX
r]T0+ oQ>
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: vBoO'l9'M
yb?|Eww_o
>> x=linspace(-2,3); qrE0H
^{[[Z.&R?
>> y=humps(x); F 7LiG9H6`
gr+Pl>C{
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 CA*~2|
&d,Wy"WPi
YPEnNt+
`eD1|Go9
[.-a$J[4+F
0OWL
0Oap39
!*vBW/
?cK]C2Ak
Mudrg[@`
}_%P6
1~Mn'O%
zy>}L #
u)~s4tP4
A*i_|]Q
>> r=fzero('humps',1.2) 1;&T^Gdj
CDCC1B G"
r = 1.2995 2w4MJ,Uw
DsQ/aG9c%
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 <|H?gfM
^73=7PZ
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: E474l
%wL,v.}
% m-function, f_1.m ik\S88|
d+5:Qrr
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 Ef,Cd[]b
rBfg*r`)
y=x.^3-2*x-5; 7#pZa.B)k
zYr z08PJ
>> x=linspace(-2,3); ' ^a!`"Bc
dtTlIhh1V
>> y=f_1(x); fSI %c3
=l,#iYJP8
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 4_Y!el H)
X9~p4ys9{
@?a4i
O<X
)p`,`
&7Kb]Ti
(\&
62B1
^PQM;"
xA-jvu9@
}
07r
c F=P!2@
G_(ct5:_"!
a_%>CD${t
$W, zO|-
OG}KqG!n
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 PbN3;c3
vJThU$s-
r = 2.0946 7LdzZS0OM
mATH*[Y
>> p=[1 0 -2 -5] w%2ziwgh
zq=&4afOE
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 A^L?_\e6
ArX]L$D
r = L!vWRwZwC
}5hZo%w[n
2.0946 D!me%;
mtX31M4
-1.0473 + 1.1359i 3P`WPph
-#OwJ*-U
-1.0473 - 1.1359i |?yE^$a
D}Au6
2.5线性代数方程(组)求解 {83C,C-
1q`k}KMy
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 A$ J9U3+O
$r):d
AX=B OOfyGvs
Q!`)e @r
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 Fr2kbQTg;
",QYDFFeF
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 R)Q/Ff@o0
.Nk}Z9L]k
如果将原方程式改写成 XA=B 4?v$<=#21*
pbPz$Y
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 ^glX1 )
:q(D(mK
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 w"BIv9N
27Cz1[oX
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 <o~t$TH
*q}FV2
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: nT#37v
'frWu6]<
4
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 ' 4,y
hI*`> 9l
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 1]Gf)|
akMJ4EF/
>> X=A\B % 先以左除运算求解 ";75 6'>
PL9<*.U"=
X = % 注意X为行向量 EN)YoVk
h|K\z{ A
-2 =n)JJS94
eR7qE) h
5 J0&zb'1
j'\>Nn+
6 )uANmThOz
]gb _Nv
>> C=A*X % 验算解是否正确 <_=JMA5
GVeL~Q
C = % C=B 43+EX.c
su,`q
10 :8](&B68gE
Lc58lV=
5 <9=zP/Q
Xq+!eOT
-1 s.f`.o
3X,]=f@_
>> A=A'; % 将A先做转置 ]\[m=0K
Rbx97(wK
>> B=[10 5 -1]; t8L<x
3 %z
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 `6|i&w:b
_{N0OX
X = % 注意X为列向量 JQ~y- lt
N!tpzHXw
10 5 -1 ~%olCxfO
?| D$#{^
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解