2．1微分 bbevy!m
T@c{ 5a
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： G|5M~zP
Z~O1$,Z
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 r@;n \
L' w
}
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 Y{~[N y E
6BT o%
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 (dl7 +
a!ao{8#
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 x O `#a=
Ik_u34U
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 >q{E9.~b
Q)}_S@v|%
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： 9Yg= 4>#$
<4!SQgL
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 83i o@*D
-z"=d<@
>>S2 = 'sin(a)'; f>d aK9$(
[0v`E 5
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; :sD/IM",},
lFMQT
;
>>diff(S1) ,[6N64fy
7V Wq8FH`
ans=18*x^2-8*x+b "P O>@tY
oZ% rzLH
>>diff(S1,2) +AVYypql8K
{ir8n731p
ans= 36*x-8 :_R[@?c
W10=SM }
>>diff(S1,'b') tE"aNA#=
@"[xX}xK;
ans= x )@"iWQ 3K
7`,A]": ;
>>diff(S2)
% W!C
]F:5-[V#
ans= nSWW^ ;
t#pF.!9=
cos(a) ,'~8{,h5
C( ( 7
>>diff(S3) ROZOX$XM
tBSHMz
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 y_bb//IAG
%au2kG,
>>simplify(diff(S3)) 7]}n 0*fe
L`v7|! X
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 .qBL.b_`
}cDw9;~D
2．2积分 m:EO}ws=
H=2sT +S p
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 dW
hU
o\>=
:q6j {C(
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： 2%0J/]n\A"
o[C,fh,$
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 #:E}Eby/6I
~";GH 20
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 \^7D% a=;C
Gn}G$uk 61
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 6.X| . N
9 d7`R'
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 ]Puu: IG
@=@7Uu-
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 G[34:J
')ZM#
:G
我们示范几个例子： tqdw
y.
)n8(U%q$
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; }u"iA ^'Ot
yk1.fxik'
>>S2 = 'sin(a)'; (8bo"{zI
I$Z8]&m
>>S3 = 'sqrt(x)'; FdT@}
["N{6d&Q
>>int(S1) ,Mt/*^|
5i 56J1EC
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x xWNB /{F
9 F"2$;
>>int(S2) J!l/!Z>!cF
h_O6Z2J1
ans= -cos(a) +k@$C,A
nP9zTa
>>int(S3) 8t{-
& ,KxE(C
ans= 2/3*x^(3/2) +Usy
dEz7 @T
>>int(S3,'a','b') zR)9]pJ-
y[ikpp#ozY
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) 51:NL[[6
<+ 0TN]?
>>int(S3,0.5,0.6) K0681_bp
f@:.bp8VB8
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) B2}|b^ 'I
9rO,h|L
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 (<|NerwD
T@V<J'
ans= 0.0741 4dfR}C
0~.OMG:=
2．3求解常微分方程式 n*7Ytz3#'
; QVX'?
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， pf_(?\oz>
.i^aYbB$X
condition则为初始条件。 U
_QCe+
%hEhZW{:
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 JqX+vRY;dd
F\Qukn
y'=3x2, y(2)=0.5 w 0V =49
t-, =sV
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 D_n(T ')
]`p*ZTr)\
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 Us5P?}
@j|B1:O
对应上述常微分方程式的符号运算式为： fu}ZOPu
d&z^u.SY
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') g\Ck!KJ/y
3%"r%:fQB/
ans= x^3-7.500000000000000 ^xB=d S~
4 [\[Ho
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 BKiyog
!R { C
=wd=TX/
@zz4,,]
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') v6Vd V.BI
85QVj] nr
ans= atan(x^2+1) ,-55*Rb i
H <gC{:S
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') 8&gr}r-
5
@k"Q e&BQ
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) x EX"pd
g~>g])
Xup"gYTZQ
F@+FXnz
2．4非线性方程式的实根 L)0j&
**] .d;~[l
要求任一方程式的根有三步骤： )#NT* @j`
]\ fXy?2
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， C`p)S`d
'+ @q
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 v2vPf b
V3^=Mj2"
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 `7f><p /q
dtXA EL\q
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 qUZm6)p6[a
2;82*0Y%
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 ^rHG#^hA
,wyfMOGLt
例一、方程式为 1 c$<z~
Q9Y$x{R&
sin(x)=0 ;q8tOv Q
G`a,(<kT;
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： FEd W e\E
Z#J
cN quM
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 Aqc
Cb[1r
GT -(r+u
r=3.1416 Ezvm5~<
nBVR)|+M
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 lphELPh
pl-2O $
r = 6.2832 mnZS](>
\[nvdvJv
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： }I1A4=d
t *8k3"
>> x=linspace(-2,3); @[:JQ'R=
w<m) T
>> y=humps(x); 3@d{C^\
-{a e
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 nb
-Je+
IQ& o%
* KDT0 ;/s
yq?7!X
&~%(
RO
`|[" {j}^
86]})H
r`; "
j-?zB .jAh
|Lq - vs?
@,Re<%\
|L@9qw F
wR x5` @
F MuakCic5
QGWfF,q
>> r=fzero('humps',1.2) S$=e %c
x[ sSM:
r = 1.2995 M~6x&|2
B\/"$"
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 d %"?^e
8-A * Jc
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： FY^#%0~
+cDz`)N,,
% m-function, f_1.m S.!0~KR: U
.^ ?^QH3
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 d1MVhE
c]pO'6]
y=x.^3-2*x-5; ,%|$#
g 0
[lSQ?
>> x=linspace(-2,3); i$Rlb5RU
xnyp'O8yk
>> y=f_1(x); 97$1na3gq
q}nL'KQ,n
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 K3c(c%$<R
4z~%gt74O]
oic}G o
\~1>%F'op
[jOvy>2K]
N|pyp*8Z
|;L%hIR[
q=o "]
6
x J;DkPh
12NV
-rEg(@S %
2n9E:t c
m[@7!.0=
qJ;T$W=NG
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 \X'{ e e
\2rCT ~x
r = 2.0946 :&]THUw
8gA:s`ofJ
>> p=[1 0 -2 -5] oEqt7l[I{
"hwG"3n1
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 )N) "O? W9
]t69a4&,#9
r = >3S^9{d
Iw ? M>'l
2.0946 ++s=$D
hBSci|*f
-1.0473 + 1.1359i Q~5!c#r
W^c> (d</
-1.0473 - 1.1359i t^|+|>S
n3-2;xuNKE
2．5线性代数方程（组）求解 +OUYQM mM
6 7uUeCW
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 Unl6?_
u 1?1x
AX=B %hYol89F
TP6i SF
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 Ax#$z
&{s`=IeN
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 0n <t/74
%8?s3^ o
如果将原方程式改写成 XA=B erG;M! 9\
&^H qbLz
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 cuJ%;q=;
@K 8sNPK
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 0NY2Kw;
_084GK9{W
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 zSYh\g"
Kn]c4h}@b5
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： 2:(h17So
=] R_6#
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 H3=U|wr|
!aSu;Ln
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 &yKU f
A7~~{9
>> X=A\B % 先以左除运算求解 u S$:J:Drx
= O
qw`jw
X = % 注意X为行向量 {DPobyvwFk
C<!%VHs
-2 $<)k-Cf
HvWnPh1l
5 EJ*
Ea%} VZ&[
6 ZJotg *I
:les
3T}2
>> C=A*X % 验算解是否正确 Fe(qf>E
I("J$
C = % C=B fJ[(zjk
3P1OyB
10 Pv.z~~l Y
;c BFft}D
5 LbGyD;#_
+jcg[|-' /
-1 U>^u!1X
Z8 \c'xN
>> A=A'; % 将A先做转置 ;c5Q"
/J8'mCuC.
>> B=[10 5 -1]; ?)9mHo^
J4
yT|
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 ;J3az`
]KMOLe6(
X = % 注意X为列向量 g ;U f?
{`0GAW)q
10 5 -1 z5CZ!"&v
;C8'7
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
