2.1微分 K0O-WJ
-E8ntY-
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: ?w]"~
{PODisl>\D
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 sf |oNOz
( zn_8s
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 "x#]i aDjf
<XQN;{xSa
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 ;x:k-s2-
^))PCn_zb
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 V!T^wh;
3>-[B`dD(
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 I~\O
'1W!xQ}E
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: O.@g/05C
4Qa@`
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; <i\UMrD]`:
J)9 AnGWe
>>S2 = 'sin(a)'; 1YOg1 n+k
?,ZELpg n
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; RLdlz
==%`e/~Y
>>diff(S1) AMbKN2h1f
Op`I;Q
#%d
ans=18*x^2-8*x+b 3R5K}ZBi%
S~+O`y^
>>diff(S1,2) ]3n , AHA
f{)+-8
ans= 36*x-8 9#v-2QY
@%6)^]m}r
>>diff(S1,'b') Mw/?wtW
oR*ztM
ans= x _*O7l
P@qMJ}<j
>>diff(S2) 0CPxIF&
d{er|$E?
ans= ).pO2lLF4
J'oDOn.M
cos(a) >%-Hj6%
iV5}U2Vh
>>diff(S3) :W~6F*A
V?OuIg%=:
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 h S4.3]ei
%dEB /[
>>simplify(diff(S3)) ~j=xi P
ARP KzF`Wq
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 /+>)"D6'
j:7*3@f
2.2积分 }VF#\q
Ve)ClH/DW
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 !_qskDc-
m;dm|4L^
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: G3G/xC"
b3}Q#Y\G
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 v2d<o[[C
BWWq4mdb{
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 YQ;
cJ$
^V[/(Lq
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 .Y;b)]@f
1@xP(XS
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 2d-{Q8Pi
tv0Ha A
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 ny)]GvxI
',GV6kt_k
我们示范几个例子: yf!,4SUkU
98GlhogWt
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; u#1%P5r&X
wzd`l?o,
>>S2 = 'sin(a)'; Ejv%,q/T(
/#f^n]v
>>S3 = 'sqrt(x)'; +]c/&Xo!
%,/lqc Fo
>>int(S1) (?vK_{
6JhMkB^h
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x TjxA#D)
xRlYr# %
>>int(S2) )>\4ULR83
[]zua14F6
ans= -cos(a) yG\UW&P
t0q_>T-kt
>>int(S3) [F+,YV%t
\@K~L4>
ans= 2/3*x^(3/2) Di> rO038
fxd0e;NAAh
>>int(S3,'a','b') 6g"C#&{@
?R|th Z
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) PnA?+u2m
S/.^7R7{f
>>int(S3,0.5,0.6) KVN"XqE4
h./P\eDc
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) eZH~je{1
w~|1Wd<v
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 :Xfn@>;3ui
z}+i=cAN
ans= 0.0741 L2fZ{bgy
%?9Ok
2.3求解常微分方程式 *)'V vu<
3-C\2
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , 9[VxskEh
/aY pIMi9}
condition则为初始条件。 .po>qb6
Qqc]aVRF
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 F}36IM9/:
vN65T$g7
y'=3x2, y(2)=0.5 w2dcH4&
A_R!uRD8-
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 zXZir7NfM
&^!h}D%T/
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 HbM0TXo
}Cj8
对应上述常微分方程式的符号运算式为: .TpsJXF
Qhn;`9+L
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') z)-c#F@%
2'|8Q\,:4Z
ans= x^3-7.500000000000000 6B" egYv
z wk.bf>m
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 y9 L14
IRW^ok.'b!
`VT>M@i/
n lGHT
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') eGL<vX
]s_8A`vm
ans= atan(x^2+1) pHC/(6?
Da.G4,vLh
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') Q.Aa{d9e
)nfEQ)L;h}
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) mJ5H=&Z
skg|>R,kE
nP3 E
2g-` ]Vqb
2.4非线性方程式的实根 ru9zTZZD
[f/I2
要求任一方程式的根有三步骤: }m-"8\_D
nZk+
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, I&VTW8jB
"ju'UOcS/
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 Dw6 fmyJ:
w@-M{?R
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 g)"gw+ZFc
bHE2,;o
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 zM#sOg
K.~q+IYP[
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 WXw}^v
P-`(0M7^
例一、方程式为 >ut" OL9J
p@
NaD=9
sin(x)=0 u=x+J=AH
C[sh,
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: W?woNt'n
XvTCK>1
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 Z4b||
}H> ^o9
r=3.1416 [iP#VM-N
WKfkKk;G
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 +]Zva:$#`
i1lBto[
r = 6.2832 AIYmS#V1W2
R%Y`=pK>}
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: ]6r;}1c
]`g@UtD9`
>> x=linspace(-2,3); CusF/>
58Xzup_"
>> y=humps(x); tBbOY}.VD
]:M0Kj&h
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 ZBT1Y.qA
Zdc63fllM
`l;n:]+
{^a36i
/P|fB]p
4`m~FNVS
V"\0Y0
sUJ%x#u}Fk
O/s$SX%g
8BOZh6BV
%ts^Z*3u
>{gPN"S"a
sV"UI
-VxTx^)>
#'D"
'B
>> r=fzero('humps',1.2) ajR%c2G;
t7n(Qkrv
r = 1.2995 gxz-R?.
tz4
]qOH8
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 J%09^5:-z
LEMfG~Czq
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: F:@70(<w%
9{k97D/
% m-function, f_1.m ('wY9kvL&
lO&3{dOYE
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 poGc a1
Nkxmm/Z
y=x.^3-2*x-5; ::Ke^dp
@k[R/,#'[t
>> x=linspace(-2,3); z%MW!x
Q_* "SRz
>> y=f_1(x); )[0T16
Ya>oCr}K
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 Dd;Nz
qmO6,T-|
4wC+S9I#E^
3_~cMlr3T.
il|1a8M2~
.ObZ\.I
5N%93{L
,'[<bP'%_
}*.0N;;C
JkW9D)6
wP[t0/dl
!Mi;*ZR
o-}R?>
2M#r]
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 nX$XL=6mJ&
pZ/>[TP(%F
r = 2.0946 W6On93sa
m(pE5B(
>> p=[1 0 -2 -5] K~@Mg1R
<n]x#0p
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 h;6lK$!c
k0T?-iM
r = =[F<7pvE
31/Edd"]
2.0946 Me
5_4H&Sg
H$I=W>;
-1.0473 + 1.1359i %-d]X{J:
>JiltF7H0
-1.0473 - 1.1359i _YF%V;X
H^YSJ6
2.5线性代数方程(组)求解 zbq@pj)Qu
$@UN4B?y
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 7)s^8+
D1__n6g[
AX=B I1PuHf Qs
cReB~wk
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 CiB%B`,N
HuOIFv
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 8MSC.0
8']9$#
如果将原方程式改写成 XA=B ]CoeSA`j
dPhQ :sd>
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 V7/I>^X
By% =W5
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 ^MVkZ{gtre
|+T1XYG5
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 0{=`on;
j$+nKc$
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: q5?# 3 T=
3D2E?$dX
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 () j=5KDu
3+XOZh8
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 y3h/IpT
';<0/U
>> X=A\B % 先以左除运算求解 7AObC4 g
z_|/5$T>U
X = % 注意X为行向量 t25,0<iW
['T:ea6B
-2 h=:Q-?n-
M8tRjNWS?
5 nJo`B4'U
|9B.mBoX
6 rYbpih=x
~-I+9F
>> C=A*X % 验算解是否正确
YxP&7oq
B&@?*^.
C = % C=B nVi[
[Nk3|u`h
10 ~m$Y$,uH
m&?#;J|B$
5 ( vca&wI!
-:na:Vsi
-1 6b:tyQ
ia MUsa{
>> A=A'; % 将A先做转置 -q*i_r:,
~/P&Tub^
>> B=[10 5 -1]; |cR;{Z8?_
F F|FU<
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 4y+< dw
w'm;82V:P-
X = % 注意X为列向量 gntxNp[9T
@w?P7P<O`
10 5 -1 @0F3$
;LMJd@
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解