2．1微分 R"9w VM;*c
D[ #V
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： IhBc/.&RL
Ei):\,Nv
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 9O:l0
l
2jC` '8
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 /1v9U|j
mHHlm<?]
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 ^a_a%ws
*; ]}`r
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 L/r_Mt N
qSB&Q 0T
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 <K`E*IaW
uBa<5YDF
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： [)1vKaC
Uu5(/vw]
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; uT4|43<
G
.=
?*Wp
>>S2 = 'sin(a)'; [GI~ &
Xs2 jR14`
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; *
l1*zaE
(X,i,qK/
>>diff(S1) j}eb
_K+I
E SIP+
ans=18*x^2-8*x+b *H/3xPh,*
MCmb/.&wu
>>diff(S1,2) [i /!ovcY
DJL.P6 -W
ans= 36*x-8 ,M ;9|kE*
uW(-?
>>diff(S1,'b') ! T][c~l
3@Mh* \;\b
ans= x 5 tQz!M
mG j)Zrx>
>>diff(S2) O*~z@"\
%7)TiT4V
ans= 2CO/K_Q
]`|$ nU}v
cos(a) 3T F_$bd{
GDL/ 5m#
>>diff(S3) 2URGd#{VQ
Giv,%3'
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 eZa*WI=
vTO9XHc E
>>simplify(diff(S3)) #`*uX6C
OL>>/T
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 _|#abLh%
9k H~=`: ?
2．2积分 X3l>GeUi
M\C9^DX{
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 E]OexRJ^ i
y9 {7+]
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： /GIGE##1F
Qh1pX}X
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 n[iwi
S)W xTE 9
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 O8@65URKx
t<p#u=jOa
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 DQ Q]grU
})/ P[^
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 K$,Zg
T(D6'm:X
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 .[O{,r
'^m.vS!/
我们示范几个例子： kg7F8($
2 d[q5p
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; \34vE@V*
BV~J*e
>>S2 = 'sin(a)'; [`\ VgKeu
]<>cjk. ya
>>S3 = 'sqrt(x)'; rv*{[K
pux IJ
>>int(S1) |u > (~6
"[_j8,t`
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x 'v6@5t19j
dw"Es;^
>>int(S2) XjG S.&'I
V!He2<
ans= -cos(a) kXwA w]ogN
U #[&(
>>int(S3) hJEd7{n
P51M?3&=l
ans= 2/3*x^(3/2) <a6pjx>y
g-sNYd%?a
>>int(S3,'a','b') t`Z'T qP R
H0af u)$,
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) ="voJgvw
Z=a%)Ki?Ag
>>int(S3,0.5,0.6) > <YU'>%
+ `|A/w
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) f*o
M&V' *.xz
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 )UKX\nD"0
GT P'js
ans= 0.0741 <L-F3Buu
hC\
l
\y
2．3求解常微分方程式 +8Lbz^#
NU=ru/
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， xb,d,(^ ]R
A & iv
condition则为初始条件。 "v1{
F H,]'
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 DSU8 jnrL
=tOB f RM
y'=3x2, y(2)=0.5 cRT' ?w`}
+fKOX#%
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 vjS`;^9
Jl{ 0q7b
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 ;4rhh h&
S^r f^%
对应上述常微分方程式的符号运算式为： !D??Y^6bI
<mn[-
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') Z`S# > o
lfgJQzi
G
ans= x^3-7.500000000000000 FzInIif
TjUw e@&Rw
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 h&>3;Lj
ZNQ x;51
}Dhq zKl
Z 1HH0{q-A
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') QLd*f[n
ot}erC2~
ans= atan(x^2+1) ~:DL{Ze Eb
7ch9Pf
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') T8^9*]:@c!
[dJ!JT/X{
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) 981-[ga `Y
X)b$CG
hF2e--
S{=5n R9 j
2．4非线性方程式的实根 c{ M
,K
j, 0`k
要求任一方程式的根有三步骤： ` c
&K / ?#
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， j?K$w`
J2z /XHS
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 <*( Z}p
i~';1
.g
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 | v!N1+v0
I*u3 e
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 '(vZfzc{J
ER"69zQg|2
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 @]Cg5QW>T
X-[ "{
例一、方程式为 @DysM~I
xC`!uPk/pL
sin(x)=0 0 +=sBk (
+mocSx[
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： #mQ@4k9i
'_c/CNs
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 k dNo<x1o
9j 2t|D4uT
r=3.1416 :j&enP5R(q
j9
nw,x$
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 ?ko#N?hgI
f. 6>6%l
r = 6.2832 @|
z _&E
s)-oCT$[
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： a4*v'Xc5
'< Zm>L&
>> x=linspace(-2,3); g>/Y}{sL-
.QvD603%5
>> y=humps(x); 6 >kU Lp
EFX2>&mWo8
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 -xtT,^<B
SXL3>-Z E
:c*"Dx'D
{ )" 3
4(L mjue]?
x9l7|G/$
$TUYxf0q
x3O%W?5
[Sm<X
R$&;
NW\CEJV
VX)8 pV$
Xh"9Bcjf
~~>m
~5HkDtI)
>> r=fzero('humps',1.2) kt yplo#F
b31$i 5{
r = 1.2995 #T)Gkc"{
PxKBcx4o`
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 -E7mt`:d
I }8e"#
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： !gX xM,R
<9@n /
% m-function, f_1.m SEgw!2H
RC_Pj)
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 i%i~ qTN
^|/mn!7wD
y=x.^3-2*x-5; |
Y:`>2ev
k z=ho~ @
>> x=linspace(-2,3); PD&e6;rj;
//@6w;P
>> y=f_1(x); o0r&w;!
A]bb*a1
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 'w:ugb9]
O=Su
E/q
MIJuJ]U}
= 3(v4E':5
S
m(*<H
e r3M vw
alJ0gc2?
*BKD5Ew S
S#ryEgc]
dgVG P_~
~ 5}t;
D,IT>^[^7
kff N0(MR
TuwP'g[
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 (;fJXgj.
e'mF1al
r = 2.0946 Xqf\}p n
;+75"=[YT
>> p=[1 0 -2 -5] S?v/diK ]J
9a_P 9s3w
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 SQ) BS/8A
Z
`F[0-
r = W ^<AUT
2|k$Vfz
2.0946 X;LYGJ {Xk
"ku[ b\W
-1.0473 + 1.1359i $:u*)&"t|
ykQb;ZP8jh
-1.0473 - 1.1359i bd /A0i?C
aR2N,<Cp5
2．5线性代数方程（组）求解 }8#olZ/(q
x(c+~4:_M
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 99O ZK
~&~4{
AX=B D5"5`w=C
$#V' m{Hh
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 |5flvkid
hk
!=Z E 3
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 APl]EV" l
mAlG }<
如果将原方程式改写成 XA=B 4j3q69TZR
+"84.PZ
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 k _t|)
J
8R)K$J$Hm
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 H:~bWd'iz
fDr$Wcd~
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 YI0l&'7
- UEi
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： :s_o'8z7L
=Ji[ ;wy@
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 ztU"CRa8
)Q1aAS3
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 B2r[oT R
TX5 ??o
>> X=A\B % 先以左除运算求解 p7\LLJ y
xn, u$@F
X = % 注意X为行向量 ";U ~wZW_
0^*,E/}P&
-2 Q7y' 0s
D@p{EH
5
fDYTupKXH
`N[@lV\xp!
6 Op0*tj2i),
o;c"-^>
>> C=A*X % 验算解是否正确 <Ve0Ph K
8K2 @[TE=5
C = % C=B E$lbm>jsb$
;tQ c{8O6L
10 ~j{c9EDT|
1{/Cr K/o
5 [%^0L~:
Wm1dFf.>
-1 4evN^es'I_
XR]bd
>> A=A'; % 将A先做转置 =
V')}f~C
"(jD*\8x
>> B=[10 5 -1]; ~ g{1lcqQP
gjsks(x
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 wMkHx3XD
1E$\&*(
X = % 注意X为列向量 =WUNBav
,i6U*
10 5 -1 pcv\|) &}
, $!F,c
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
