2．1微分 CY1Z'
WLT"ji0w2
diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个： Wc#24:OKe3
~ a :
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 E
fDH6
Nc`L;CP
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 /7kC<
}OUt sh ]y
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 yAt ^;
Tbq;h ?D
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 #a6iuO0I
?
t|[?
数值微分函数也是用diff，因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分，如果引数为向量则执行数值微分，如果引数为符号表示式则执行符号微分。 ,F|f. 7;
vzM ^$V
先定义下列三个方程式，接著再演算其微分项： 0S"MC9beg
U/U);frH
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; $i&zex{\
_b 0& !l<
>>S2 = 'sin(a)'; U6K|fY N`
)e{ aN+
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; Da|z"I
x
oU8q o-J1H
>>diff(S1) I,tud!p`
^!d3=}:0
ans=18*x^2-8*x+b .nJz G
Y4 -t7UlS;
>>diff(S1,2) +>,I1{u%&
_)8s'MjA:&
ans= 36*x-8 ;u JMG
P0@,fd<
>>diff(S1,'b') OXA7w. ^
TH;hO).u
ans= x
XSR
4iu
D7Z /H'|
>>diff(S2) L0,'mS
l#o
~W`
ans= !0+JbZ<%r|
[JiH\+XLPs
cos(a) CJ}%W#
sRs>"zAg
>>diff(S3) `?]k { l1R
sC'` ~}C
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 P
pb \6|*
FrS]|=LJhX
>>simplify(diff(S3)) ?,mmYW6TjB
79gT+~z
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 A.SvA Y n
6K^ #?Bn;
2．2积分 wk^B"+Uhy
#a#F,ZT
int函数用以演算一函数的积分项， 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 w )f#V s
Jy)/%p~
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到，则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个： sJZ iI}Xc
6nn *]|7
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 3";q[&F9y
Rcu z(yS8
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 rq{$,/6 .
[X kx_B
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 8 1F9uM0
pa+hL,w{6
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值，积分区间为[a,b]，a和b为数值式 j 7B!h|
0GwR~Z}Z
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值，积分区间为[m,n]，m和n为符号式 8*X4\3:*N
}e1ZbmW
我们示范几个例子： l1I#QB@5n
@7 }W=HB
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; PCA4k.,T
mpyt5 #f
>>S2 = 'sin(a)'; h[ ZN+M
4eu O1=
>>S3 = 'sqrt(x)'; X}]-*T|a
JF]JOI6.e
>>int(S1) (Ld i|jL
kZ~~/?B
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x i b m4fa
xdPx{"C
3
>>int(S2) 637:
oT_`O
4H/OBR
ans= -cos(a) 0RfZEG)
cr CJrN=
>>int(S3) Ri'n
>_}
I.\ X
ans= 2/3*x^(3/2) ) oZ dj`
=4!m Ao}
>>int(S3,'a','b') KvS G;
gw(z1L5
n
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) 'w/hw'F6
x-c"%Z|
>>int(S3,0.5,0.6) M|-)GvR$J
Kw}'W
8` c
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) ]n~V!hl?A
I fir ,8
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 L];b< *d
6@f-Glwg
ans= 0.0741 'qi }| I
AW .F3hN)
2．3求解常微分方程式 6~{C.No }
)jj0^f1!j
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition')，其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y)，且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' ， oU|c.mYe
:N@^?q{b
condition则为初始条件。 }G=M2V<L
NA*&#X#~
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 <i[HbgUlO.
)"LJ
hLg
y'=3x2, y(2)=0.5 l:%GH
PH"%kCI:
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 zi:BF60]=
0V]s:S
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 mmsPLv 6
l2d{ 73h
对应上述常微分方程式的符号运算式为： MDN-- p08
Q\)F;: |
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') _ |p8M!
|}1d Fp
ans= x^3-7.500000000000000 E4!Fupkpf
51u0]Qx;fm
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 >7r!~+B"9'
~
1 pr~
V]N?6\Op
X 8|EHb<
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') ]k(]qZ
Fi1@MG5$2
ans= atan(x^2+1) 07)yG:q*x
'|4!5)/K
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') .
.- hAH
_U0f=m
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) t
Pf40`@
6RM/GM
1cGmg1U ;
J;%Xfx]
2．4非线性方程式的实根 GL JMP^p
mTh]PPo
要求任一方程式的根有三步骤： Ah<+y\C
C7vxw-o|&p
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态，例如一方程式为sin(x)=3， Tr|JYLwF
R4@6G&2d>
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 AEuG v}#
q =Il|Nb>
代入适当范围的 x, y(x) 值，将该函数的分布图画出，藉以了解该方程式的「长相」。 dd["dBIZ '
$|@ r!/W
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交，以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根，其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个，则须再代入另一个在根附近的 x0，再求出下一个根。 bfO=;S]b!
| ' .
以下分别介绍几数个方程式，来说明如何求解它们的根。 s r}E +qf
Q^I\cAIB
例一、方程式为 \f)#>+X-
cFv8 Od
sin(x)=0 x :7IIvP
{^'HL
我们知道上式的根有 ，求根方式如下： h1{ 3njdr
/@Zrq#o
zx
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数，其名称为sin，因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 2JFpZU"1
*' X3z@R
r=3.1416 `"~%bS
ZB&6<uw
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 d %#b:(,
`lPf b[b
r = 6.2832 $SE^S
X jX2]
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps，我们不须要知道这个方程式的形态为何，不过我们可以将它划出来，再找出根的位置。求根方式如下： wPl%20t
TPY}C
>> x=linspace(-2,3); 0;ji65
_2nx^E(pd
>> y=humps(x); @I*{f
$g7<Y*t[
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 ASfaX:ke
4&f3%eTi
V>
bCKtf&
eY\y E"3
Y<rU#Z #T
]7mt[2 Cd
Q IgNsz
^H' \"9;7
jSA jcLR
Lk$B{2^n
MWL%
Bz
"Pf~iwfw
JZ#[
2mLh
>U3cTEs cj
N36_C;K-z
>> r=fzero('humps',1.2) ?rup/4|
ow#1="G,=
r = 1.2995 p D74+/DD
F: l%O#V
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 [h:T*(R?
3Hm/(C
这个方程式其实是个多项式，我们说明除了用 roots 函数找出它的根外，也可以用这节介绍的方法求根，注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下： 6 _ow%Rx~F
!L8#@BjU
% m-function, f_1.m AFfAtu
5 BJmA2L
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 i@ BtM9:
p6WX9\qS(
y=x.^3-2*x-5; ss e.*75U
{u9}b x'<
>> x=linspace(-2,3); ^Q^_?~h* !
*~H Sy8s
>> y=f_1(x); jZ3fKyp#
8h4'(yGQQW
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 Pc o'l#:
^Va1f'g
BV+ Bk+
T"}vAG( .O
4YX3+oS
.y,0[i V
N
-FCe:iY! A
1&o|TT/
O<;3M'y\
=iD 3Yt
j9OG \m
.k
\@zQ|Ta
@{pLk4E
bD8Gwi=iiu
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 _H=Uwi_g
19KQlMO.G
r = 2.0946 AZ}Xj>=
% -e 82J1
>> p=[1 0 -2 -5] RlDn0s
.%C|+#&d
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 xpx\=iAe
}I6vqG
r = f.` *Qg L
qXjxNrK
2.0946 QS]1daMIK<
lR6x3C
H@
-1.0473 + 1.1359i v2;`f+
CoAv Sw
-1.0473 - 1.1359i ;
p {[1
oD1/{dRzj
2．5线性代数方程（组）求解 S + ^E.
Zdo'{ $
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 Yr=Y@~ XL
qH 6>!=00
AX=B _1L![-ac
c#tjp(-
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 ,tJ "
5O3-
2Jmz( cH%
要解上述的联立方程式，我们可以利用矩阵左除 \ 做运算，即是 X=A\B。 g]yBA7/S"
([LSsZ]sj
如果将原方程式改写成 XA=B 1"M]3Kl
1!T1Y,w
其中 A 为等式左边各方程式的系数项，X 为欲求解的未知项，B 代表等式右边之已知项 u4%Pca 9(=
Hi`//y*92H
注意上式的 X, B 已改写成列向量，A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解，即是 X=B/A。 #7YY<)
xt}
I [##2
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B，即是 X=inv(A)*B，或是改写成 XA=B, X=B，即是X=B*inv(A)。 xDoC(
gH7|=W
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法： 'V=P*#|SR
&wE%<"aRAl
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 E6gI,f/p0X
K$_ 0 `>[
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入，B要做转置 8 j\cL'
B[-v[K 2
>> X=A\B % 先以左除运算求解 :| 8M`18lZ
zEy N)
X = % 注意X为行向量 /& +tf*
vV e';|8v
-2 s^uS1
25[I=Zd S
5 sAD}#Zw$
j*jo@N |
6 ,lA s
w{@ o ^rs
>> C=A*X % 验算解是否正确 zZ323pq
vucxt }Ti
C = % C=B :'l^kSP_*C
7.#F,Ue_0T
10 ~C`^6UQr/?
i||]V*5n
5 %H&@^Tt a
\EtQ5T*u
-1 QKN+>X
sCk?
>> A=A'; % 将A先做转置 c>Xs&_
1\ >^m
>> B=[10 5 -1]; g^{@'}$
YccH+[X;
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 _JE"{ ;
E:}r5S) 4
X = % 注意X为列向量 A.F738Zp{Z
~W+kiTsD?
10 5 -1 /%TI??PGu
FZ,#0ZYJGP
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
