2.1微分 `1
A,sXfa
4&N#d;ErC
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: MkLXMwuQ&
>8M=REn4
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 sE:~+C6o:
n/9.;9b$I
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值
!:Z
lVIA
RGg=dN
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 MD|T4PPz,}
&tVIl$e
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 nQ*9E|Vx
2~`vV'K
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 /]pJ(FFC
zbY2gq@?
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: 27J!oin$
Y=83r]%
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; =
y@*vl
Eqizx~e qq
>>S2 = 'sin(a)'; kx{LY`pY
#ME!G/
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; =-bGH
$|"Y|3&X
>>diff(S1) d?ru8
ml,FBBGq|-
ans=18*x^2-8*x+b $Z|HFV{
/aTW X
>>diff(S1,2) 4t
5i9+h
Jn7T5$pJ
ans= 36*x-8 [x%[N)U3
h*>%ou
>>diff(S1,'b') \1Xr4H
u
(n{x"rLy/
ans= x M}fk[Yr>
^ YOCHXg
>>diff(S2) dvAG}<
]J1oY]2~
ans= y`,;m#frT
|` |#-xu
cos(a) .}9Lj
%g_)_ ~
>>diff(S3) `.z"Q%uz
X;bHlA-g
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 `- HI)-A97
'@/1e\ -y
>>simplify(diff(S3)) oBO4a^D
5^ck$af
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 @
D,]v:
LD*XNcE
2.2积分 N_^PoX935O
;FGS(.mjlC
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 gc\/A\F<
U)[LKO1
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: f\;w(_
Wsb>3J
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 $d-$dM?R5
:5sjF:@
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 GaCRo7
`# U<'$
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 Cnr=1E=
<z#.J]
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 gvFJ~lL
BOOb{kcg
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 K0W X($z~;
o|$r;<o3R
我们示范几个例子: [uwn\-
O _C<h
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; Ay7PU
^g|j4N
>>S2 = 'sin(a)'; *knN?`(x
8J#x B
>>S3 = 'sqrt(x)'; p()q)P
*>/w,E]
>>int(S1) ~:L5Ar<
@d5$OpL$%
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x ihJ!]#Fbm
O>N/6Z
>>int(S2) Jkv!]C
xM=ydRu
ans= -cos(a) GEvx<:
Q<NQ9lX
>>int(S3) !</U"P:L
Vm?# ~}T
ans= 2/3*x^(3/2) =0L%<@yA
<FX]n<
>>int(S3,'a','b') sSf;j,7V
T6b~uE
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) lN&+<>a
CIui9XNU
>>int(S3,0.5,0.6) |"PS e~ u
$EHFf$M
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) ?H!jKX
s2(7z9jR
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 H |
C3{9
/0cm7[a ?
ans= 0.0741 _M&n~ r
15VvZ![$V
2.3求解常微分方程式 M,W-,l
]
h oO847
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , C=CZtjUt
(-Q~@Q1
condition则为初始条件。 2
FoLJ
xbxzB<yL
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 Y4w]jIv
}Ml BmD
y'=3x2, y(2)=0.5 H
"Io!{aKU
A9g/At_
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 CzY18-L@EX
TV0sxod6
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 t^Lb}A#$4
q sUBvq
对应上述常微分方程式的符号运算式为: #6
ni~d&0
O8A(OfX
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') KgbBa2@+
QgKR=GR6
ans= x^3-7.500000000000000 $9j>oUG
Lagk
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 Nmd{C(^o
n!AW9]
bI3GI:hp
R!%HQA1U
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') wd32q7lGo1
4DDBf j
ans= atan(x^2+1) =L@CZ"
6`iYIXnz
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') 8ki3>"!A
b%*`}B
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) u,nn\>Y
qou\4YZ
r73W.&
3s|:7
2.4非线性方程式的实根 OiXO<1'$
i-;#FT+Xc
要求任一方程式的根有三步骤: >Ut: -}CS
eub}+~_?[
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, -9.lFuI
<"6\\#}VG
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 0:71Xm
x#&_/oqAk
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 2LR y/ah
L1I1SFG
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 }:YL'$:5!
l5=ih9u
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 k H<C9z2=
SrB>_0**
例一、方程式为 K!qOO
V=5S=7 Z:
sin(x)=0 rM,f7hm[S*
>q&5Z
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: Hc@_@G
%.u*nM7sos
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 ,`Z4fz:
E:M,nSc)53
r=3.1416 ;]0d{
ybsw{[X>M
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 9xj }<WM
hu} vYA7ZH
r = 6.2832 t_xK?``
Z3YKG{g
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: &4 KUXn[F
2L;=wP2?{
>> x=linspace(-2,3); 5@r6'Z
j;b>~_ U%
>> y=humps(x); %*!6R:gAp
&L5
)v\z
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 kppi>!6
ME0u|_dPjz
?wlRHVZ
3Mm_xYDud
OI6Mx$
(yi zM
b/qK/O8J
6;:D!},'c
I}o}
#OJ
Z2yO /$<
j;E$7QH[
T%&vq6
%i/|}K
;`Xm?N
Y$"m*0
>> r=fzero('humps',1.2) $z*"@
d>mZY66P
r = 1.2995 - E GZ
J
;z`bk^
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 #BcUE?K*N
,D*bLXWh
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: @iV-pJ-
GRYw_}Aa
% m-function, f_1.m zI,Qc60B
et~D9='E
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 ,aUbB8
f 42F@M(:
y=x.^3-2*x-5; /;Hqv`X7
KMkD6g
>> x=linspace(-2,3); QN$s%&O
;b=diZE
>> y=f_1(x); L[9Kh&