2.1微分 *T2kxN,Ik
p%-;hL!
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: sI`oz|$
`>u^Pm
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 PQXCT|iJ
+6s6QeNS8
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 %mRnJgV5k
}BAe
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值
C:p`
(97&mhs3
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 s&M#]8x;x
juB /?'$~
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 ,U.|+i{
/mwsF]Y
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: ld7B{ ?]
HXgf=R/$
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; $|VD+[jSV
uQ3W =
>>S2 = 'sin(a)'; }*c[}VLN
En ]"^*
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; KouIzWf.
zcOG[-
>>diff(S1) &W%fsy<
&IP`j~b
ans=18*x^2-8*x+b #YK=e&da
h3V;
J
>>diff(S1,2) Q&vU|y
: 2A\X' @
ans= 36*x-8 &{S@v9~IT
@6VkNe9
>>diff(S1,'b') H(DI /"N
QJ,~K&?
ans= x +<'>~lDg
bdj')%@n
>>diff(S2) ' pfkbmJ
Vkl]&mYRz
ans= h%&2M58:
.e|\Bf0P
cos(a) yH(%*-S
$u,
~183
>>diff(S3) mV|Z5 =f
M<ba+Qn$
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 Ur(< ]
+K48c,gt?
>>simplify(diff(S3)) 3-_`x9u*
|M|>/U 8
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 nBtKSNT#Q
oT9qd@uQ0:
2.2积分 Oe&gTXo
m]&y&oz
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 &,'CHBM
?-=<7
~$
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: j=Z;M1
89ab?H}/
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 Mc6v
i*e'eZ;)
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 bl[2VM7P
gt!tDu
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 EO"G(v
r[3 2'E
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 m5lTf
4)d"}j
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 PDpDkcy|QM
qTV.DCP
我们示范几个例子: )odz/\9n3c
R?8/qGSVqJ
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; aA-s{af
R!2E`^{Wl
>>S2 = 'sin(a)'; S{UEV7d:n0
<,Fj}T-
>>S3 = 'sqrt(x)'; R
RnT.MU
.<Jq8J
>>int(S1) trlZ
2Jqr"|sw
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x 9C:V i
~/;shs<9EM
>>int(S2) PF:'dv
TTo5"r9I8
ans= -cos(a)
cfL:#IM
,ZvlKN
>>int(S3) a
t%qowt
8\m[Nuq5
ans= 2/3*x^(3/2) =HHb ]JE
<'vtnz
>>int(S3,'a','b') 0|FQIhVuY
.}3K9.hkr
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) +{cCKRm
sLW e \o
>>int(S3,0.5,0.6) DhT8Kh{
RT"JAJTi/
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) Q=#Wk$1.
+kT
o$_Wkz
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 aV G4Df
x_#'6H\1ga
ans= 0.0741 5/i]Jni
?]0bR]}y
2.3求解常微分方程式 ^']*UD;
i 8:^1rHp)
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , \0z<@)r+AJ
w>&g'
condition则为初始条件。 )<_:%oB
_tfi6UQ&lY
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 !Z%pdqo`.
Q&e*[l2M6
y'=3x2, y(2)=0.5 nh>lDfJV<
DaqpveKa
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 mh8)yy5\
<Y ^)/ s
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 EN)0b,ax
}?[a>.]u
对应上述常微分方程式的符号运算式为: en29<#8TO
z_ L><}H
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') z=Khbh
z&Lcl{<MA
ans= x^3-7.500000000000000 `yrJ }f
k4YW;6<C+
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 n4/Jx*
I|)U>bV
^q/_D%]C
2E0$R%\
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') YfVZ59l4y6
2~QN#u|UC3
ans= atan(x^2+1) ,5P
tB]8&3
~ P!%i9e_
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') b!z kQ?h
aaFt=7(K
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) rY]QTS">o
)"f*Mp
E,7b=t
IeGVLC
2.4非线性方程式的实根 O
718s\#
`h$^=84
要求任一方程式的根有三步骤: FuFA/R=x/
[,ZHn$\
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, ] F2{:RW
I=K|1
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 3ULn ]jA
5U<;6s
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 Oi\,clR^[o
g)^g_4
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 N_f>5uv
D'oy%
1Q}
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 Y]H,rO
]xN)>A2
例一、方程式为 @JpkG%eK
R9O1#s^
sin(x)=0 ^_JByBD
3V@!}@y,F6
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: x^/453Lk
aX|LEZ;D>
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 (zIIC"~5
)jed@?
r=3.1416 z-?WU
z9HUI5ns
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 ]?(_}""1
]rc=oP;
r = 6.2832 E{}Vi>@V?
{Zrf>ST
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: .?*TU~S
#lO~n.+P
>> x=linspace(-2,3); lW3wmSWn%
_vr;cjMI
>> y=humps(x); tqicyNL
R]"3^k*
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 &KVXU0F^z
0p1~!X=I
E*{_=pX
L3y`*&e>
9hdz<eFL
HiTj-O
SX@zDuM
<F-W fR
y rmi:=N(
SB=%(]S
`nEe-w^9)I
^4[|&E:
%)!b254
_e94
sL\W6ej
>> r=fzero('humps',1.2) @t<KS&
B),Z*lpC
r = 1.2995
+z?SKc
OzS/J;[PO[
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 Wd]MwDcO
fE,Io3
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: <K
GYwLk
hvOl9W>
% m-function, f_1.m f'%Pkk
Bf{c4YiF
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 ZCz#B2Sf8
AQIBg9y7
y=x.^3-2*x-5; eD?f|bif
:XeRc"m<
>> x=linspace(-2,3); )|j?aVqZ
hLF ;MH@
>> y=f_1(x); jC_m0Iwc
l&oc/$&|[
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 FgTWym_
s|d"2w6t
! ,&{1p
E>Lgf&R#W
C}Ucyzfr,p
XG}9)fT
!FHm.E_>
%)p?&_
l-<EG9m@
nV3I6
>S'IrnH'!
B`wrr8"Rz
Y[Eq;a132
YK%rTbB(
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 V3c7F4\
^b^}6L'Z
r = 2.0946 j-TRa,4bN
h"t\x}8qq
>> p=[1 0 -2 -5] $c }-/U 8
/[+%<5s
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 LGT?/gup
R/Z
zmb{
r = ,WtJ&S7?
Z,7VOf6g
2.0946 }0~X)Vgm(
|ZtNCB5{^j
-1.0473 + 1.1359i 'mO>hD`V
J/B`c(
-1.0473 - 1.1359i Q?/qQ}nNw
"WZ |
2.5线性代数方程(组)求解 &l?AC%a5
M$U Zn
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 z#^;'nnw
:s>x~t8g#n
AX=B oMHTB!A=2
=Hx]K8N )
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 HMmB90P`
a6!|#rt
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 RZP7h>y6@
e-*-91D
如果将原方程式改写成 XA=B tR(nD UHV5
~DP_1V?
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 v W4n>h}]
KvXFzx|A
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 ZaF9Q%
R*DQLBWc
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 D|$Fw5!^k6
.FC|~Z1T<F
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: |H.ARLS
tn}MKo
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 3<HZ)w^B
:f~qt%%/
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 +
f,Kt9Cy
Uj)Wbe[)p0
>> X=A\B % 先以左除运算求解 ZQ{-6VCjl
v?0F
X = % 注意X为行向量 tmi)LRF
H
YO9;NA{sH
-2 oS^KC}X
5i+cjT2
5 GA;h7
-ARks_\
6 ;OZl'
. %`
Up5 |tx7
>> C=A*X % 验算解是否正确 2P ^x'I
\P7<q,OGS
C = % C=B )3k?{1:
es<8"CcP
10 y/+IPR
bvS6xU-
J
5 \,pObWm
}$i/4?dYsQ
-1 IKV!0-={!z
|-L7qZu%
>> A=A'; % 将A先做转置 }=Ul8
<
c(aykIVOo
>> B=[10 5 -1]; ]kd:p*U6P
;8a9S0eS
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 ~;#sj&~
pQ>|dH+.
X = % 注意X为列向量 b0Dco0U(
[iZH[7&j
10 5 -1 4:5M,p
m`}mbm^
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解