2.1微分 eceP0x
1n;0?MIZ
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: \XZ/v*d0
(,0(
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 9dx/hFA
!2f[}.6+
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 &OH={Au
X4~y7
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 Fj2BnM3#
s{*[]!
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 ]>5/PD,wWy
\"P%`C
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。
f*?]+rz
u 7>],<
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: r7%I n^k
!$gR{XH$]
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; _l89
#Lh;CSS
>>S2 = 'sin(a)'; 9y"@(
+nFu|qM}
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; nksLWfpG?B
v dc\R?
>>diff(S1) hcsP2
0s
A P?R"%
ans=18*x^2-8*x+b 8p 'L#Q.
286jI7 T
>>diff(S1,2) 'c9]&B
r@H /kD
ans= 36*x-8 Ga^"1TZ x
TNe l/
>>diff(S1,'b') 8;RUf~q?
3YOq2pW72G
ans= x TrEu'yxy8*
vXrx{5gz
>>diff(S2) U:0mp"
NJWA3zz
ans= -
M4JJV(
{EB;h\C
cos(a) Ot_]3:`J~
E Nhl&J
>>diff(S3) vc;$-v$&
/NI;P]s.
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 l<58A7
spH7 /5}
>>simplify(diff(S3)) IL#"~D?
6*78cg Io
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 2*;~S44
nS }<-s
2.2积分 gwuI-d^
q 376m-+
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 pP&7rRhw
[
)Iv^ U9
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: /K@XzwM
%rL.|q9
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 -A^ _{4X
dVtG/0
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 4yy>jXDG
/$Nsd
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 WUn]F~Lt
AUG#_HE]k
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 [.7d<oY
_$E6P^AQ
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 |.: q
]v UwG--*
我们示范几个例子: M6"PX *K
Y8~"vuIE5
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; *SJ_z(CZm
tKOmoC
>>S2 = 'sin(a)'; zZPO&akB"
UmP/h@8
>>S3 = 'sqrt(x)'; %v
M-mbX
3wF;GG
>>int(S1) X]TG<r
LYTdTP
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x L\J;J%fz.
< `=j^LU
>>int(S2) `KoV_2|
zj{pJOM06
ans= -cos(a) AlaW=leTe
Cv.C;H
>>int(S3) e8a+2.!&\
xef% d
G.
ans= 2/3*x^(3/2) Qz1E 2yJ
=4YhG;%
>>int(S3,'a','b') 0
1rK8jX
yS'I[l
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) 6Pl<'3&
(=AWOU+
>>int(S3,0.5,0.6) -=Q*Ml#I
m.rmM`
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) q6luUx,@m
eF$x 1|
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 j_?FmX
_
iOghb*aW
ans= 0.0741 x=P\qjSa
P/eeC"
2.3求解常微分方程式 j3V
-LnA
H/
HMm{4
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , ~TD0zAA&
S9y}
condition则为初始条件。 ~q.F<6O
oJz^|dW
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 N:/D+L
+~$ ]}%
y'=3x2, y(2)=0.5 ;A'mB6?%H
YK'<NE3 4
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 ! n@KU!&k
%ntRG!
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 Cl7xt}I
[}=B8#Jl-C
对应上述常微分方程式的符号运算式为: 45c$nuZ
UB@+ck
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') 904}Jh,
FcU SE
ans= x^3-7.500000000000000 7Ovi{xd@
\ ~$#1D1f
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相
cdT7
@
ea
'D td
VlsnL8DV
#q=Efn'
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') 0'C1YvF
Ve; n}mJ?
ans= atan(x^2+1) Zb>? 8
|)v,2
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') VU3upy<
aEeodA<(
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) 3F2w-+L
%dVZ0dl
YN F k
5U$0F$BBp
2.4非线性方程式的实根 +ye3HGD
HIZe0%WPw
要求任一方程式的根有三步骤: igPX#$0XU
@*((1(q
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, G_,jgg7
`d}2O%P
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 Vt#.eL)Ee
Tyx_/pJT
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 8&slu{M-
t
/a4{?? #e
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 b8 likP"T
kt:!
7
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 [7Oe3=
uKHxe~
例一、方程式为 -[.[>&`/
(f"4,b^]
sin(x)=0 "^%cJAnLX
h2d(?vOT
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: C LRdm^B
pW3^X=6
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 /gP+N2o+}
fNFY$:4X
r=3.1416 +CNv l
oCz/HQoBk
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 }BP;1y6-r
4.t-i5
r = 6.2832 DB,J3bm
cbTm'}R(G
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: a&? :P1$
D*d]aC
>> x=linspace(-2,3); S)@j6(HC4
E7hY8#G
>> y=humps(x); 3^yK!-Wp(
c]!V'#U
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 N;`n@9BF
k8zI(5.>
UkFC~17P
LKDO2N
A.w.rVDD
Z *x'+X
7@W>E;go
(#c:b
vnuN6M{
EfT=?
dSHDWu&
b&U62iq
|2A:eI8 ^
u=e{]Ax#}
]7A'7p$Y
>> r=fzero('humps',1.2) fp"W[S|uL
wUJcmM;
r = 1.2995 oQJtUP%
=7UsVn#o
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 V!~wj
1< ?4\?j
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: R=\IEqqsi
2&cT~ZX&'
% m-function, f_1.m , W?VhO
"#g}ve,
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 n `Ac 3A
))Za&S*<
y=x.^3-2*x-5; JW&gJASGC
{_*yGK48n
>> x=linspace(-2,3); |Y.?_lC
;hq\
>> y=f_1(x); );YDtGip J
:Hbv)tS\3w
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 #<xm.
t_1LL >R
"<gOzXpa
8{ I|$*nB
@O~pV`_tD
dc'Y`e
qxc[M8s
# f\rt
lEBLZ}}\
NHE18_v5
_#8MkW#]~
J .<F"r>
B)UZ`?>c
\b>]8Un"
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 !
dgNtI@
y1#1Ne_
r = 2.0946 2~2 O V
,#K'PB4 E
>> p=[1 0 -2 -5] :23P!^Y
6S{l'!s'
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 -Qe'YBy:
@(lh%@hO
r = HVAYPerH
nr#|b`J]
2.0946 2KZneS`
nr3==21Om4
-1.0473 + 1.1359i moE2G?R
GtHivC
-1.0473 - 1.1359i lLIAw$
qxj(p o
2.5线性代数方程(组)求解 wgA_38To
!`r$"}g
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 ]_$[8#kg
V~ _>U}
AX=B oL<St$1
vKR[&K{Z|
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 *K;~!P
+H2Qk4XFB
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 E(|>Ddv B&
S8gs-gL#Og
如果将原方程式改写成 XA=B 6w7 7YTJ
eV~goj
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 i@'dH3-kO
t$ *0{w
E
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 T^q
0'#/
FiU#T.`9'
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 Ir]\|t
:gC#hmm^
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: :v 4]D4\o
j+YJbL v
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 WEpoBP
CL
?X;RLpEc|A
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 B/C,.?Or
R}ecc
>> X=A\B % 先以左除运算求解 2T`!v
3uMy]HUQ
X = % 注意X为行向量 dqAw5[qMJ
!&\INl-Z
-2 w*Ihk)
2Rz
5 H)&R=s
.
]M"#
\
6 azU"G(6y?+
F1hHe<)
>> C=A*X % 验算解是否正确 A)~6Im
y> (w\K9W
C = % C=B C*lJrFpB
YbLW/E\T
10 y?!"6t7&
uIrG* K
5 <6=c,y
SY8C4vb'h
-1 'm9` 12H
L8n|m!MOD
>> A=A'; % 将A先做转置 8$|=P!7EO
aN=B]{!
>> B=[10 5 -1]; ze;KhUPRm
RT5T1K08I
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 1nOCQ\$l
(I}v[W
X = % 注意X为列向量 h.fq,em+H
]{L jRSV
10 5 -1 RGX=)
cS+>J@L
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解