2.1微分 b%j:-^0V
krc!BK`V
diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: n4y6Ua9m{
%QLYNuG
diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 k]pD3.QJ
S]O Hv6
diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 ! -@!u
C/VYu-p%
diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值
RQNi&zX/
q.{/{9
diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 rxeXz<
*Bsmn!_cB{
数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 QC,(rB
=XlIe{
先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: m-92G8'
w{x(YVSH
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; ld:alEo
Q.dy
$`\
>>S2 = 'sin(a)'; ^QR'yt3e
z>;+'>XXgx
>>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; 0.+eF }'H
<dPxy`_
>>diff(S1) f<p4Pkv
[c[MQA0
ans=18*x^2-8*x+b v/.h%6n?
E wsq0D
>>diff(S1,2) C-^%g[#
CVG>[~}(9'
ans= 36*x-8 q)xl$*g
slvs oN@
>>diff(S1,'b') kDl4t]j
m&0BbyE.z
ans= x ]O=S2Q
|abst&yp
>>diff(S2) ;Pqyu
?
7e{X$'
ans= nf.:5I.
&DQ4=/Z
cos(a) Hu(flc+z"
>{qK]xj
>>diff(S3) 0"qim0%|DF
Zjic"E1
ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 QJIItx4hE
Lr}b,
>>simplify(diff(S3)) ^8oc^LOa~2
E?gu(\an@
ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 VXc+Wm*W
<\d|=>;
2.2积分 [bi3%yWh
Ns!3- Y
int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 Jm(&G
}EedHS
分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: _L4<^Etfm
l'7Mw%6{
int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 YD='M.n\
n,?IcDU~m
int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 i2FD1*=/?
bQdSX8: !R
int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 $\,BpZ
}3
s!hI:$J.
int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 Jny)uo8
,5\2C{
int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 2 ]V>J
`*" H/QG
我们示范几个例子: ljYpMv.>xG
]|,q|c ,
>>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; c/<Sa|'
3`fJzS% O
>>S2 = 'sin(a)'; )+n,5W
U/X|i /
>>S3 = 'sqrt(x)'; cebs.sF:
@e!Zc3
>>int(S1) .~. ``a
}XX~
W}M(\
ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x K\IYx|Hm a
*GbVMW[A>
>>int(S2) rU=b?D)n!w
""1#bs{n
ans= -cos(a) lAdDu
TL},Unq
>>int(S3) &1z)fD2
{ OB-J\7Y
ans= 2/3*x^(3/2) Sl3KpZ
nG"tO'J6
>>int(S3,'a','b') k}-yOP{
yZYKwKG
ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) L`9TB"0R+
kOs(?=
>>int(S3,0.5,0.6)
<^lJr82
j/)"QiS*?
ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) k?3S
ic%?uWN
>>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 m7$8k@r
C=fsJ=a5;
ans= 0.0741 Zimh_
B\Xh3l]+j
2.3求解常微分方程式 >(hSW~i~
7#QLtU
MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , gRBSt
M&hU
yJ%t^ X_
condition则为初始条件。 z0#-)AeS
`/z_rqJ0CL
假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 z5x _fAT(
R)ERxz#
y'=3x2, y(2)=0.5 vt//)*(.$
&e5(Djz8t
y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 wZ#Rlv,3Wa
lWW+5
y'=3y+exp(2x), y(0)=3 :z]}ZZ
-;^;2#](g
对应上述常微分方程式的符号运算式为: :M06 ;:e
zbNA\.y
>>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') P''X_1oMC
Guh%eR'Wt
ans= x^3-7.500000000000000 Z,K7Ot0
?>af'o:
>>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 ({4]
petW
M@
.e@>
(zG.aaz*C
>>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') nU(DYHc+l
RsW9:*R
ans= atan(x^2+1) %r;w;`/hA
q_ %cbAcD
>>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') `2`fiKm
C)Jn[/BD
ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) n-o3
|9Yi7.
QK; T~
_k
w%dL8k
2.4非线性方程式的实根 /RT%0!
.R5y:O
要求任一方程式的根有三步骤: \'Z<P,8~
$Z?\>K0i
先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, C5W>W4EM
aRJcSV
则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 cCY/gEv
Sm-wH^~KA
代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 6Pn8f
vyI%3+N@
由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 }P9Ap3?
xd-XWXc
以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 kforu!C
N]N4^A'
例一、方程式为 ,xI%A,
(,;
{g6Qv-
sin(x)=0 *[+)7
c+dg_*^
我们知道上式的根有 ,求根方式如下: otJ!UfpR8
Oco YV J
>> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 !xIm2+:(
Yw;D:Y(
r=3.1416 B>y9fI
DI|:p!Nx
>> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 ;z~n.0'
CjIu[S1%
r = 6.2832 (Y%Q|u
k0-G$|QgIp
例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下:
9Z5D\yv?H
LPYbHo3fq
>> x=linspace(-2,3); J?UQJ&!@O
<#GB[kQa
>> y=humps(x); <"D=6jqZ
^YdcAHjK
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 wCf~O'XLw
[+m?G4[
:u8(^]N
(+<1*5BEkT
wkqX^i7ls
me6OPc;:!
5 <wnva
XdLCbY
,#d? _?/:O
Z+j\a5d?,
C98]9
G0u LmW70
n+lOb
~c)~015`
?m$a6'2-,J
>> r=fzero('humps',1.2) ;zM*bWh9
-/{4Jf Wf
r = 1.2995 ydw)mT44K
w.,Q1\*rPp
例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 }ENR{vz$A
)X9W y!w0
这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: PP:(EN1
?bM_q_5
% m-function, f_1.m 5JEbe
) ri}nL.
function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 yV_4?nh
2z\zh[(w
y=x.^3-2*x-5; U=hlu
6#IU*
>> x=linspace(-2,3); oB74y
P!"&%d
>> y=f_1(x); +}f9
CHV*vU<N
>> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 vN3Zr34
L%>n>w
Bz5-ITX
+3KEzo1=)
YZ%Hu)
B<C*
1Bpv"67
F <hJp,q9
/4xki_}
X^WrccNX
i\W/C
(PfqRk1Y
ezPz<iZ\N
h,Q3oy\s1
>> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 JwJ7=P=c
3> Y6)
r = 2.0946 W"Gkq!3u{
I_A@BnM{I
>> p=[1 0 -2 -5] rL}YLR
B, 9w0
>> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 )HX|S-qRU=
9'r:~O
r = W^G>cC8.L
!E T~KL!
2.0946 vsa92c@T
s>^dxF!+
-1.0473 + 1.1359i _U/!4A
VO"("7L
-1.0473 - 1.1359i uJ6DO#d`P
c
9jGq
2.5线性代数方程(组)求解 hEw-
O;T0
s&NX@
我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 FXs*vg`
2Y7)WPn
AX=B &o<F7U'R
Ybn`3
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 ezMI\r6
HcqfB NM
要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 qkC/\![@
DoeiW=
如果将原方程式改写成 XA=B
V<j.xd7
k70|'* Kh
其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 phgm0D7
vPD]hs
注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 )LyojwY_g
o0pII )v
若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 m o:D9
`+uhy,
我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: pbU!dOU~e
nI*v820,
>> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 B4mR9HMh
;]pJj6J&v
>> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 7bV{Q355P
a(0*um(
>> X=A\B % 先以左除运算求解 X3V'Cy/sy
)lZp9O
X = % 注意X为行向量 /, ! B2
\xS&v7b
-2
4A2?Uhpy
iV eC=^1
5 9t#S= DP
`^4vT3e
6 k+DR]icv
()3O=!
>> C=A*X % 验算解是否正确 ~PHB_cyth
y})70w@+_
C = % C=B pf_mf.
hc'-Dh
10 4M^G`WA}t9
mI>,.&eo
5 .({smN,B
V@\%)J'g
-1 C|?o*fQ
;ji pe3LU
>> A=A'; % 将A先做转置 P:N1#|g
R%c SJ8O#
>> B=[10 5 -1]; *<u2:=_s
P8?Fm`
>> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 jr3ti>,xV
IEcf
X = % 注意X为列向量 Q
pmsOp|
2^^=iU=!<|
10 5 -1 kn/Ao}J74z
fks)+L'
>> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解