在物理
光学中，我们使用麦克斯韦方程组处理
电磁场。为了快速求解该方程组，我们将不同的麦克斯韦算子结合在一个非序列场追迹概念中。进一步的，快速物理光学概念的支柱是：（1）尽可能在k域求解麦克斯韦方程组。（2）根据处于哪一个场域，使用常规或
几何傅里叶变换，选择k域或空间域。（3）通过所谓的双向算子
仿真光学组件的效应。（4）几何双向算子的引入。这些概念的结合产生了一种物理光学理论，其具有快速建模算法，该算法固有地以定义明确、有说服力的方式应用了几何和
衍射模型。
I F6$ @Q V'=;M[& 1.场追迹图
Ebs] ]a>PO ]vz6DJs 一个
光学系统的麦克斯韦方程组的解可以通过非序列场追迹算法得到[1]。这导致所有通过系统中不同光路的
模拟，都由一系列自由空间传播步骤和与空间中非均匀区域，例如光学器件的互作用组成。从
光源平面中的场开始，自由空间算子P规定了在下一个组件平面上的场，其中组件的响应由算子B给出。这些算子应用于x域或k域。一个光路的模型可以由所谓的场追迹图说明，图1给出了相应的例子。
%<nGm\ 2~f*o^%l 图1 物理光学中一个光路的场追迹图模型。参数j指明了应用算子的场参考平面。 S1^/W-yoc~
尽管电磁场包含六个场分量，场追迹算法仍然可以通过ρ=(x,y)，E┴(ρ,ω)=(Ex(ρ,ω), Ey(ρ,ω))正式地表示，缺失的四个分量可以根据E┴的需求计算。在k域中，这些计算遵循简单的代数方程。
NzyEsZ]$ 自由空间算子方程由 给出，输入平面场为 ，输出平面（输入平面的下一个算子）的结果为 。如果输入/输出平面不平行，则传播算子P通过衍射积分和附加的倾斜算子表示自由空间中的传播[2]。尽管在空间域中，传播被表示为有大量数值计算成本的衍射积分，但在k域中，对于平行平面和非平行平面的附加坐标变换，我们则有简单的表达式（ ）
N.q~\sF^ (1)
[k\VUg:P 通过选择常规或几何傅里叶变换[3]，可以来回转换k域和空间域，不同的衍射积分遵循空间域中的公式1，包括Rayleigh-Sommerfeld、远场和Debye积分。k域中自由空间传播的简单性是快速物理光学选择k域的一个重要原因。另一个原因是可以从 快速代数计算 和 。下面将介绍场追迹算法中的B算子。
aSIb0`(3 Yv]vl6< 2.双向算子
?%~p@ |OF3O,5z 空间域中我们有B算子 ，并且类似的在k域中有 。两个域中的算子都有矩阵形式，例如k域为
"rL m)$I 6AJ`)8HX (2)
S;#:~?dU 这个矩阵中每一个算子都代表一个积分运算符，例如k域中有如下积分形式（忽略ω）
I2CI 9,0 %/w-.?bX (3)
pl B8iN`x< 其中K²代表输入组件的一系列k值， V为场分量的位置标识符， B表示公式2中一个矩阵元素的积分核函数。因为(kx,ky)代表k域中传输的平面波的方向，在K²的子集中核函数也可以被理解成方向角度的函数，说明了B是电磁场的双向散射分配函数（BSDF）的概括，尽管BSDF仅仅阐述了场能量效应。
d ^RcJ3w /} PdO S y <E@1 图2 上图展示了正弦表面光栅中的场，通过有限元方法（FEM）计算。此外，也使用了局部平面近似（LPIA）方法计算。在下图中展示了两种方法的结果，平面中结果场的振幅标为红色。由Rui Shi提供。 /ojwO J
这必然被包含在了公式3中。因为BSDF的关系，我们选择 作为双向算子或者简化B算子。总的来说，计算B(k,k')和它在公式3中积分计算的应用需要大量的数值计算而且很慢。但是，在分层介质情况下，我们可以得到简化的形式，减少了乘积的积分，并且能够快速计算k域中的算子[4]。如果我们考虑Hirchhoff边界条件下的孔径效应，空间域中算子B则变成简单的因子形式，继而我们可以在x域中通过选择合适的傅里叶变化来模拟这个效应，这在图1中通过第一个B算子解释了。当然光学的主要任务是研究电磁场传播通过两种介质间的一般表面，例如
透镜模型。
faRQj:R8 G `%r nu 3.几何算子
)J @[8 x` >l)x~Bkf$j 一般表面对场的影响可以通过有限元法（FEM）来计算，但是对于大多数情况来说，数值计算成本太高。如果表面的结构不是很小，在大多数实际情况中通过所谓的局部平面近似（LPIA）方法计算B算子可以得到足够的精度[5]。在这种近似中，电磁场的边界条件利用分层介质的已知解进行局部计算。图2比较了正弦表面光栅时FMM和LPIA的计算结果，结果显示LPIA对该效应预测的很好，即使是表面上非常小的特征。事实上，我们发现LPIA是计算公式3中B(k,k')包括矢量效应（公式2）的有力手段。需要注意的是，著名的薄元近似（TEA）方法是LPIA的简化特例。尽管LPIA可以计算双向算子，我们仍然需要进行公式3中大量的数值积分计算。这导致了LPIA和几何傅里叶变换的结合[3]。如果我们假设输入场和输出场在它们的几何场域，它们遵循几何傅里叶变换理论
bS8$[7OhX (4)
Ry X11XU 公式3中的积分再一次简化为简单的乘积，其中包括了坐标变换k(k')。根据几何傅里叶变换理论，这个变换由输入场的波阵面相位计算得到。我们将公式4中的算子称为几何算子。这个结果已经于VirtualLab Fusion中实现。如果场处于其几何或衍射区域，则可以在任何平面进行数值测试。根据结果，应用了不同的傅里叶变换，也以不同的方式应用了B算子。这造成了基于纯数学论证的衍射和几何模型自然而然地应用。建模始终完全基于物理光学并在数值效率方面进行了
优化。
