光在阶跃型折射率多模光纤中的异常情况
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多模光纤的使用中，例如从光源传输至应用的常为阶跃型折射率的光纤（即在整个纤芯中拥有恒定折射率的的光纤）。虽然这是一种相当简单的构造，但它仍有一些令人惊讶的现象，而且通常只能通过波动光学来解释，而不能用几何光学的理论解释。在实践中，也经常会遇到一些在传统的教科书中没有答案的问题，本文解释了其中的一些问题。 `o^;fcnG
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在所有的导模下拥有相同的光功率？ >? A `C!i
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一些问题，与光纤的导模的光功率分布有关，而这些分布取决于发射条件。 l 9ch
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第一个问题是：当我们在所有波导模式下达到了同样的光功率，光场看起来会是什么样子的?有趣的是，我们还需要更多参数以弄清楚它意味着什么：我们指的是单色光还是多色光在所有波导模式下的电场同步振荡？ x1 &b@u
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让我们来假定为第二种，更具有现实意义的情况。进行最简单的假设，对于多色光的情况，假定各个模式的场间互不相干，场强分布为不同模式下（例如在光纤内或光纤后的某个位置）光强度非相干叠加。如果有部分相干的情况，事情会变复杂许多。
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使用 RP Fiber power 软件进行以下模拟，首先，假定纤芯半径为 15 微米，数值孔径为 0.2，波长为 940nm，该光纤有 56 个LP模，如果分别计算l为非零时的两个不同方向，则有 105 个的 LP 模式。 m_PrasZ> YiQeI|{oN
6S+K*/w ;?HZ,"^I 不出意料的，虽然我们没有得到一个完全平坦的
曲线，但也很接近了。
}77=<N br 2gC&R1 H 下图曲线为远场分布，即光在光纤后的自由空间中传输了很长一段距离。
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L~;>]7 DbNi;m 光纤的极限角度符合给定数值孔径 NA= 0.2 的预期值，但是分布看起来有点奇怪：预测应该是一个扁平的曲线，但中间的波峰是什么？是因为模式数较少产生的结果么？但是，当模式半径增大一倍后（30 微米，v数为 40.1），我们可以得到 211 种模式（计算不同的方向下为 409 个），情况变得更加极端
J:TI>*tn w7*b}D@65\ tr9_bl&z 我自己也感到十分惊讶，想知道这个波峰与哪些模式有关，也许是某些低阶模式，因为高阶模式通常表现出较高的发散角，而不会在这么小的角度产生这样的波峰？但是出乎意料，结果说明这是一个阶数高的模式产生的，下面是阶数最高的五个模式（即传播常数最小）
v[3hnLN% -XD P- Trk 3Av(|< cR 9'/ |?I 我们可以看到是 LP_{1, 13} 产生了这个奇怪的波峰，其他的模式对这个波峰贡献不大，为了理解，我们需要查看相应的近场的分布。
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a= z"P,=M6De 重点是 LP_{1, 13} 模式，由于接近其截止波长，其强度分布延伸到光纤包层中相对较远的地方-这种现象只能用波动光学来理解。这种相对较为宽泛的空间分布导致了远场贡献的低发散性。
ZjI/zqBm _.J[w6 所以这是可以理解的，但是我们在实际的入射条件下可以做到么？如果我们仅在光纤纤芯的区域输入光，而模式向包层延伸的越多，则与输入光的分布重叠就会越少，得到的光功率就会给更小。所以我们观察到的现象应该会衰弱很多。
]rX ?n coP$7Q . 模拟发射条件 /NN[g z g$^qQs)^N 毫无疑问，模拟典型的入射条件当然十分有意义，但在技术上有些麻烦——如何构建一个具有有限相干性的光场，分布的相邻位置之间是否存在某种程度的关联？ MIXrLh3
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利用我们的 RP Fiber Power 软件，人们可以利用以下方法轻松的解决这个问题，只需要少量脚本就可以解决。 C $re$9U
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在光纤端口创建一个具有适当空间分辨率的二维复合场振幅阵列。 :]z-Rz
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作为第一猜测，在所有网格点上随机产生不相关的复振幅，其中强度的期望值（振幅的模平方）遵循阶数为 10 的超高斯函数与光纤芯相当吻合。由于其快速的空间变化，该场会产生非常强的光束发散，远远超出光纤的 NA 值。 N mjBJ_ G
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为了校正后者，可以进行二维空间傅立叶变换，用超高斯函数对结果进行多重运算，以便根据给定的 NA 对其进行限制，然后再变换回来。 \q d)l
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根据获得的随机幅值分布，我们可以计算具有重叠积分的所有模式功率，包括模态幅度曲线和随机幅度曲线。我们可以以图形方式显示结果： 9{^B
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r|H!s,
!=Kay^J~. 在此，我们使用正 l 值来表示“余弦”方向上的 LP 模式，使用负l值表示“正弦”方向上的 LP 模式。
U=cWvr65 d&R \7)0 所有模式的总功率达到入射功率的 99.2%。显然，其他的 0.8% 会进入包层模式，如果将输入场的空间和/或角度范围限制得更加严格，就可以减少这种损失。
hb8@br \z2hXT@D 当然，由于随机计算，该图在各次运行间具有较大波动（差异），因此我们会将同样的步骤进行 100 次并取平均值。
s:Ql] (/B# d# ?* 62 f}9`iN=k 这表明除了最高阶的模式外，我们权重取得十分平均，上述 LP_{1, 13} 模式甚至在每入射 1 瓦中的能量中，只有 7.4 微瓦，远小于平均数 2.4 毫瓦。
Jm1AJ4mw -mYI[AG) 现在我们还想看一看根据这些平均模式计算出的近场和远场的情况（绘制该区域在 x 方向的切面图）：近场分布仍然大致平坦；随着平均化程度的提高，会变得更加平坦：
XJ1nh E 4.kkxQR7r s8I77._s !=Vh2UbC3 远场也大致平坦，只是在中心附近有一些形状：
w!h{P38 3SB7)8Id1 _G8y9!J 我们还可以模拟发射发散度仅为光纤 NA 值一半的光时的情况。平均模式现在仅有更小的 l 和 m 值。
v e]95w9J )Jjw}}$}Y /s0VyUV= 除了远场发散减小之外，近场和远场分布没有发生实质性变化：
q\pc2Lh?^ :V1 ZeNw l aL4ez Yiw^@T\H` 另一个有趣的测试是，当我们再次达到光纤的数值孔径，但将输入的光直径减小为原来的一半后：
*l8vCa9Y 5lA 8e ;8xn"G0}a /n}V7 {$eZF_}Y^ 对这些现象的一些解释：
KNyD}1 "dU#j,B2 现在的模式功率模式与在整个核心区发射的模式功率模式截然不同，但差异有限。这种功率分布可能会令人惊讶，例如，在那些 m=1 的模式中，我们只得到那些具有最小 l 值最小的模态。这只是因为这些模式只有在相对远离光纤轴线的地方才有明显的强度。下图显示了它们的概况，其中红色的部分对应最高的l值：
WaK{/6?T, >0okb3+ z+B 另一个惊喜是可能在整个纤芯中看到近场的场强，我们不会在输入结束后立马看到我们射入
光线的中心区域。但是，我们仍然会激发许多有一定的强度模式。它们在短距离传播后就可以看到（0.2mm）：光线有些发散，在它到达纤芯/涂覆层前没有东西能阻止它进一步扩大。我们可以通过数值光束传播来研究这一点：
dz. MH kK6> >lD' (%IstR|u: J#;m)5[ a% ?#y<^oNM 后一个图表实际上只针对一个单色分量；如果需要，只需几行脚本，就能计算超过 100 多个此类模拟。
30v1VLR_) [eik<1=,~? 此外，在远场分布的中心，我们还能看到一个狭窄的峰值。这与基本模式 LP01 有关，它现在的功率相对较高。
&T.P7nJ= rpI7W?hh 注意，我们默认假设不存在模式的混合，我们可以用数值光束的传播来模拟任何光纤或具有随机折射率波动光纤中传播光线发生的情况。
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