详解公差分析中的Root Sum Square（RSS）

答案是125 mm±0.224 mm。并且也会是正态分布。以125作为中心，125.224与124.776的位置发生几率恰好是e^-2。

换句话说，整个系统的总厚度：

1. 也是正态分布。

2. 正态分布中心刚好是每块木板的各自几率分布的中心的总合：5+5+5+5+5=125。

3. 整个系统正态分布几率为e^-2的地方，会是每块木板各自正态分布为e^-2时的偏差值 (deviation) 各自平方后、再加和、再开根号，也就是所谓的平方和的根 ( RSS, Root Sum Square)，你可以在Excel中输入这右边这串计算来验证：sqrt(0.1^2+0.1^2+0.1^2+0.1^2+0.1^2)。答案正是0.224。

详细的证明可以参考Wiki的说明：https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_normally_distributed_random_variables

解读与假设

看到这里就能理解，平方和的根的偏差 (RSS Deviation) 代表的是整个系统最终落在这个范围内的几率是95.4%。以前面的例子来说，最终五片木板的厚度落在正负0.224范围内的几率是95.4%。

必须注意的是，这样的估计方式有两个重要假设：

1. 每个变量的影响都是正态分布。

例如前面例子中每个木板的厚度都是正态分布，其标准差是0.05。(注意前面说的正负0.1是标准差的两倍，也就是2 sigma)

2. 变量之间的关系是互相独立的。

每一片木板的厚度变化对整体厚度的影响不会受到其他木板的影响。木板a偏差+0.03，不论木板b偏差是-0.07还是0.01或其他数字，木板a对整体系统的影响就是+0.03，不会受到其他变数大小影响。

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在看估算改变量 (Estimated Change) 时，我们应该说，如果各个公差都符合正态分布与变量互相独立的假设，则代表统计上最终会有95.4%的系统，他们距离标称值，或说原始设计值 (Nomial) 的偏差 (Criterion) 都小于估算改变量 (Estimated Change)。

而对于预估性能改变量 (Estimated Performance ) (可能是RMS Spot Size或其他你设定的值)，我们则可以说，95.4%以上的系统，他们的效能都会比这个数值还要 “好”。这就是为什么我们说蒙特卡罗 (Monte Carlo) 分析时，很少系统会比这个数值还差，并且可以把RSS Performance当作最差系统的原因。

范例验证

让我们打开一个内置范例来验证：ZemaxSamplesSequentialObjectivesCooke 40 degree field.zmx。