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  • 球冠面上的正交函数研究获得进展

    作者:佚名 来源:中科院南京天文光学技术研究所 时间:2020-02-20 19:37 阅读:158 [投稿]
    南京天文光学技术研究所郑奕等人研究了球冠上的数据表达,获得了组具有解析表达的正交、完备函数组。

    近期,南京天文光学技术研究所郑奕等人研究了球冠上的数据表达,获得了组具有解析表达的正交、完备函数组。球冠面上的数据表达有着广泛的应用:在高数值孔径光学系统如光刻、显微系统中用来表达并分析像差,照明系统中用来设计大张角的透镜曲面,计算机渲染中用来计算反射光的半球分布,在人眼角膜塑形、区域地磁场建模中也起重要作用,因此一直是研究的热点。传统的平面函数随着球冠面变得弯曲,误差不可忽略,因此只在小曲度的情况下适用;而著名的球谐函数在球冠面上是冗余的,难以进行稳定的拟合,即使正则化、分数阶球谐函数等改进方法陆续被提出,计算的复杂性、高阶次不稳定的固有困难仍然难以彻底克服。

    这次郑奕课题组从平面单位圆与球冠在拓扑形态上的同构出发,构造了两者之间的一一映射,使用Zernike多项式原理,系统推导出球冠面上的正交完备函数系的获得方法。在此基础上,获得了3组具有解析表达的函数。第一个是“半球谐函数”(Hemispherical Harmonics),它在半球面上的正交、完备性获得证明,而且其表达式上与球谐函数的相似性加深了人们对球谐函数的理解,它还揭示了平面Zernike多项式与球谐函数之间关联。第二个是“Zernike球面函数”(Zernike Spherical Functions),第三个是纵向球面函数(Longitudinal Spherical Functions),它们在任意球冠上都具有正交不变性,甚至可以拓展到超半球冠,适应性强。研究还讨论了球冠面上数据拟合的问题,通过对拟合协方差矩阵条件数的分析,所获球冠函数相对球谐函数、Zernike多项式具有显著优势,计算稳定、而且对噪声不敏感。

    该项研究成果已在国际知名光学期刊《光学快报》(Optics Express Vol. 27, No. 26 37180–37195, 2019)上发表。国际评审给出了较高的评价:“该研究具有重要性,正如人们知道正交基底对描述物理过程的有多重要,所获结果将对该领域产生显著影响”。研究获得国家自然科学基金(11190011, 11973008)、江苏省自然科学基金(BK20141516)的支持。


    图1(a) 半球谐函数HSH的形态;图1(b) 半球谐函数在球谐函数中的分布,黄色格点为半球谐函数,灰色格点为伴随半球谐函数,两者组合为球谐函数。

    图2(a) 球谐函数在半球上的拟合协方差矩阵;图2(b) 为Zernike函数在半球上的拟合协方差矩阵;图2(c) 半球谐函数在半球上的拟合协方差矩阵;图2(d) 协方差矩阵条件数比较,半球谐函数优势明显。

     

    图3(a) 用4阶、20阶和140阶球冠函数拟合半球上的台阶分布,获得很高的拟合精度

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