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2008-10-21 19:25 |
MATLAB入门教程-数值分析
2.1微分 z+4R[+[ Cxh9rUe. diff函数用以演算一函数的微分项,相关的函数语法有下列4个: =3"Nn4Z +LUL-d diff(f) 传回f对预设独立变数的一次微分值 T>c;q%A/ 5}m2D=' diff(f,'t') 传回f对独立变数t的一次微分值 9J?j2!D 4_mh diff(f,n) 传回f对预设独立变数的n次微分值 xH=&={ {[$p}#7Y diff(f,'t',n) 传回f对独立变数t的n次微分值 +b{\v1b
R+m{nO~r 数值微分函数也是用diff,因此这个函数是靠输入的引数决定是以数值或是符号微分,如果引数为向量则执行数值微分,如果引数为符号表示式则执行符号微分。 pS%Az)3RZ M*}o{E; 先定义下列三个方程式,接著再演算其微分项: `mMD e %pMW5]H >>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 53L)+\7w H(pOR<` >>S2 = 'sin(a)'; EGs z{c[8@ dWp4|r >>S3 = '(1 - t^3)/(1 + t^4)'; YFW+l~[# toQn]MT >>diff(S1) F/!C=nS $/D@=Pkc ans=18*x^2-8*x+b |m=@;B| y,%w` >>diff(S1,2) ^)SvH sOHh&e ans= 36*x-8 H[Qh* pq2 Jjy}m0)#W_ >>diff(S1,'b') ^iGIF~J9 1D*eu ans= x We" "/X BFMM6-Ve >>diff(S2) -Wmpj 5Zq- |"| ans= p@!"x({@l 7Fq|Zc`P cos(a) a#kZY7s @ O%m, >>diff(S3) E&97;VH UP,(zKTA ans=-3*t^2/(1+t^4)-4*(1-t^3)/(1+t^4)^2*t^3 t rHj7Nw MHgS5b2 >>simplify(diff(S3)) 08'JT{i id B a Xzz ans= t^2*(-3+t^4-4*t)/(1+t^4)^2 iG<|3I Jb0]!*tV 2.2积分 *EotYT 9 /9,[ A int函数用以演算一函数的积分项, 这个函数要找出一符号式 F 使得diff(F)=f。如果积 wngxVhu8Ld {2V=BDS|?K 分式的解析式 (analytical form, closed form) 不存在的话或是MATLAB无法找到,则int 传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列 4个: T*$uc, Q,s,EooIx int(f) 传回f对预设独立变数的积分值 !{SEm"J^ 0a(*/u int(f,'t') 传回f对独立变数t的积分值 KYlWV<sR 7}nOF{RH] int(f,a,b) 传回f对预设独立变数的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 KKOu":b
)>=`[$D1t int(f,'t',a,b) 传回f对独立变数t的积分值,积分区间为[a,b],a和b为数值式 ^tpy8TQ 6H3_qx int(f,'m','n') 传回f对预设变数的积分值,积分区间为[m,n],m和n为符号式 -,Q<*)q{ I{M2nQi 我们示范几个例子: {"@ Bf<J# $i =-A >>S1 = '6*x^3-4*x^2+b*x-5'; 9%)'QDVGLf F`Pu$>8C >>S2 = 'sin(a)'; +|o-lb ;E*ozKpm >>S3 = 'sqrt(x)'; Qi[T!1 `5>IvrzXrK >>int(S1) >;HXH^q t);5Cw_ ans= 3/2*x^4-4/3*x^3+1/2*b*x^2-5*x >q]r)~8F^ v}iJ:' >>int(S2) oE5+ ~>{<r{H"S ans= -cos(a) |px4a" R/ P.m~? >>int(S3) TN l$P~X> #{N#yReh ans= 2/3*x^(3/2) 1-q\C<Q) bG\1<:6B >>int(S3,'a','b') J :, [J:vSt ans= 2/3*b^(3/2)- 2/3*a^(3/2) 6.ap^9AD uZ
OUp8QQ >>int(S3,0.5,0.6) ]ImS@!Ajjx 71wyZJ ans= 2/25*15^(1/2)-1/6*2^(1/2) 4,)=r3;&! `5x,N%9{ >>numeric(int(S3,0.5,0.6)) % 使用numeric函数可以计算积分的数值 dLjT^ 9 !WDdq_n*v ans= 0.0741 !3Pl]S~6! K5k,47" 2.3求解常微分方程式 fV[xv4D. z?V > ST MATLAB解常微分方程式的语法是dsolve('equation','condition'),其中equation代表常微分方程式即y'=g(x,y),且须以Dy代表一阶微分项y' D2y代表二阶微分项y'' , M?]ObIM:5 C?b Mj[$ condition则为初始条件。 GhQ.}@* Xst&QKU 假设有以下三个一阶常微分方程式和其初始条件 i3f/{D/ J|3CG;+ y'=3x2, y(2)=0.5 i++ F&r[ W/J3sAYv y'=2.x.cos(y)2, y(0)=0.25 CVu'uyy tMupX-V y'=3y+exp(2x), y(0)=3 ,/Xxj\i Oi7:J>
[ 对应上述常微分方程式的符号运算式为: ~~h9yvW7& w/ZV9"BhE >>soln_1 = dsolve('Dy = 3*x^2','y(2)=0.5') ysvn*9h+& A(<-
U| ans= x^3-7.500000000000000 [;};qQ-C2 F7=a|g >>ezplot(soln_1,[2,4]) % 看看这个函数的长相 .H9!UQ&It hWuq GfVMj7{ AvH/Q_-b >>soln_2 = dsolve('Dy = 2*x*cos(y)^2','y(0) = pi/4') [?;oiEe.| <;W4Th<4 ans= atan(x^2+1) |[xi"E\ GVFD_;j' >>soln_3 = dsolve('Dy = 3*y + exp(2*x)',' y(0) = 3') HaLEQ73 _pk=IHGsB ans= -exp(2*x)+4*exp(3*x) =(v/pLLK? e?F r/n 'O2{0 RU[{!E 2.4非线性方程式的实根 Jb_/c`` XMuZ'I 要求任一方程式的根有三步骤: ,{YC|uB >>&~;PG[ 先定义方程式。要注意必须将方程式安排成 f(x)=0 的形态,例如一方程式为sin(x)=3, {jr>Z"/q 7!Fu.Ps
> 则该方程式应表示为 f(x)=sin(x)-3。可以 m-file 定义方程式。 Qg1LT8 .'>r?%a 代入适当范围的 x, y(x) 值,将该函数的分布图画出,藉以了解该方程式的「长相」。 `/Z8mFs Y -!7QH' 由图中决定y(x)在何处附近(x0)与 x 轴相交,以fzero的语法fzero('function',x0) 即可求出在 x0附近的根,其中 function 是先前已定义的函数名称。如果从函数分布图看出根不只一个,则须再代入另一个在根附近的 x0,再求出下一个根。 [NC^v.[1[ %M~Ugv_4v 以下分别介绍几数个方程式,来说明如何求解它们的根。 D*_ F@}= vO
<;Gnh~ 例一、方程式为 -cJ(iz9! Rm6<"SLV sin(x)=0 Cc9<ABv? +Hv%m8'0| 我们知道上式的根有 ,求根方式如下: A9F&XF7{ Z<xSU?J >> r=fzero('sin',3) % 因为sin(x)是内建函数,其名称为sin,因此无须定义它,选择 x=3 附近求根 )]rGGNF* '(I"54W r=3.1416 |0m h*+i )V~<8/) >> r=fzero('sin',6) % 选择 x=6 附近求根 'g( R4deCX dqPJ 2j $\ r = 6.2832 us$~6 -%"MAIJnX 例二、方程式为MATLAB 内建函数 humps,我们不须要知道这个方程式的形态为何,不过我们可以将它划出来,再找出根的位置。求根方式如下: P0UMMn\-#
k|a{|2p >> x=linspace(-2,3); l{Xsh;%= (r:WG!I, >> y=humps(x); )Z"7^i h&.9Q{D >> plot(x,y), grid % 由图中可看出在0和1附近有二个根 !0E$9Xon Zb8i[1 P EGU?54 gXs@FhR0 69\0$O Hm%[d;Z7 r'w5i1C+ />)>~_-3 v"y
e\ZG WY0u9M4 In:h %4> >aN@)=h} t55CT6Se {I`B?6K5 [,xFk* # >> r=fzero('humps',1.2) T\. 8og g)xzy^2e r = 1.2995 %|r@q tE<L4;t 例三、方程式为y=x.^3-2*x-5 goWD~'\ Ff%m.A8d,4 这个方程式其实是个多项式,我们说明除了用 roots 函数找出它的根外,也可以用这节介绍的方法求根,注意二者的解法及结果有所不同。求根方式如下: V ;"?='vVe k$3.FO" % m-function, f_1.m )Q~Q. DpI_`TF#$Z function y=f_1(x) % 定义 f_1.m 函数 hTH"jAC+ B_c(3n-" y=x.^3-2*x-5; Ay"x<JB{U2 SJIJV6}H >> x=linspace(-2,3); ]N2'L!4|; AY,6Ddw
>> y=f_1(x); ?W%3>A 8t0i
j >> plot(x,y), grid % 由图中可看出在2和-1附近有二个根 H*; J9{ mS!/>.1[ ely&'y! {%b>/r ,&z_ 2m si%f.A # 2zArAch %+xh nPvR ~sMn/T*fv izmL8U
?t 0z.` C@hnT<e $P4hNb >> r=fzero('f_1',2); % 决定在2附近的根 bZERh:%o LTBqXh r = 2.0946 lt5~rH2 k&yy_r
>> p=[1 0 -2 -5] ]
M_[*OAb B~LB^
n(>@ >> r=roots(p) % 以求解多项式根方式验证 |44CD3A% g7_a8_ r = BU]9eF!>h \A keC 6[D 2.0946 )wSsxX7: /HI#8 -1.0473 + 1.1359i AO>K
6{ 0y2iS't
-1.0473 - 1.1359i vnXpC!1 &$< S1 2.5线性代数方程(组)求解 k3^S^Bv\
tGv4 S\ 我们习惯将上组方程式以矩阵方式表示如下 aMh2[I e?RHf_d3T- AX=B j~Rh_\>Q GMB%A 其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 "1h|1'S50? 3u+~!yz 要解上述的联立方程式,我们可以利用矩阵左除 \ 做运算,即是 X=A\B。 |CStw"Fog ?}B_'NZ% 如果将原方程式改写成 XA=B oAv L?2 LT:KZ|U9 其中 A 为等式左边各方程式的系数项,X 为欲求解的未知项,B 代表等式右边之已知项 O_KL#xo wzP>Cq 注意上式的 X, B 已改写成列向量,A其实是前一个方程式中 A 的转置矩阵。上式的 X 可以矩阵右除 / 求解,即是 X=B/A。 0'RSl~QvqS {9_CH<$W%U 若以反矩阵运算求解 AX=B, X=B,即是 X=inv(A)*B,或是改写成 XA=B, X=B,即是X=B*inv(A)。 F0Rk[GM A3M)yW q 我们直接以下面的例子来说明这三个运算的用法: 6ZCt xs! wQ4/eQ* >> A=[3 2 -1; -1 3 2; 1 -1 -1]; % 将等式的左边系数键入 %J2u+K !3?HpR/nV >> B=[10 5 -1]'; % 将等式右边之已知项键入,B要做转置 ,v>P05 Q4_j`q >> X=A\B % 先以左除运算求解 `4(k ?Pk2 Y~fds#y0 X = % 注意X为行向量 @ ;rU# el- %#0 -2 IuB0C!' 5I t+ S+a 5 =,,!a/U v=9:N/sW 6 Sf
lHSMFw ~H)b vN^ >> C=A*X % 验算解是否正确 AqE . TK 6S<J'9sE C = % C=B F4Z+)'oDr, T4J(8!7 10 %3'80u6BCJ ?w /tq! 5 sq-[<ryk TJ2$
Z -1 vKol@7%N ^MQ7*g6o >> A=A'; % 将A先做转置 z9'ME O6lj^
>> B=[10 5 -1]; %k5^n0|* 3QU<vdtr >> X=B/A % 以右除运算求解的结果亦同 h-Ffs nwHi3ojD: X = % 注意X为列向量 A$[@AY$MI F.^1|+96 10 5 -1 nOp\43no qZCA16 >> X=B*inv(A); % 也可以反矩阵运算求解
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